Verständnisfrage: symb. Adjunktion

09.06.2013, 12:12	Hexade	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage: symb. Adjunktion Hallo, ich möchte gerne wissen, ob ich die folgende Aufgabe richtig verstanden habe. Die Aufgabe: Finden Sie zu jedem der folgenden Beispiel eine Körpererweiterung, welche ein isomorphes Bild von k enthält. Beschreiben Sie k, die Einbettung von k in K und das Bild dieser Einbettung explizit. Identifizieren Sie k mit seinem Bild in K. Finden Sie dann ein Element $\begin{eqnarray} \alpha \in K \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(\alpha)=0 \end{eqnarray}$ und berechnen Sie die Darstellung von $\begin{eqnarray} \alpha^6 \end{eqnarray}$ in K. Wieviele Elemente hat K? a) $\begin{eqnarray} f= t^4+2t+1 \in \mathbb F_5[t], k= \mathbb F_5 \end{eqnarray}$ Meine Bearbeitung: $\begin{eqnarray} f= t^4+2t+1=(t+1)(t^3+4t+t+1) \end{eqnarray}$ ist reduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb F_5[t] \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} f':=t+1 \end{eqnarray}$ . Dann ist f' irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb F_5[t] \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} deg(f')=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb F_5 \end{eqnarray}$ Körper, können wir symbolische Adjunktion anweden. Es gilt nun: $\begin{eqnarray} I:= f' \cdot k[t] = (f') \end{eqnarray}$ ist maximales Hauptideal Dann ist $\begin{eqnarray} K := k[t]_{/I} \end{eqnarray}$ Körper. Es gilt: $\begin{eqnarray} \pi: k[t] \rightarrow K \end{eqnarray}$ ist Epimorphismus mit $\begin{eqnarray} Kern(\pi)=I \end{eqnarray}$ Und es gilt: $\begin{eqnarray} \iota :=\pi_{\|k}: k \rightarrow K, a \mapsto \frac {a}{1} \end{eqnarray}$ beschreibt die Einbettung von k in K und ist injektiv Identifiziere $\begin{eqnarray} k \triangleq k' := Bild(\iota) = \lbrace a+I : a \in k \rbrace \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow k \triangleq k' \subseteq K \end{eqnarray}$ ist Körpererweiterung von k. Außerdem ist $\begin{eqnarray} \alpha := t+I \end{eqnarray}$ Nullstelle von f' und somit von f. Meine Fragen: 1) Ist das, was ich bis jetzt gemacht habe richtig? 2) Meinem Verständnis nach habe ich jetzt folgendes abgeharkt: i) Finden der Körpererweiterung ii) Beschreiben von K, der Einbettung von k in K und das Bild dieser Einbettung (sind die Beschreibungen "explizit"?) iii) Eine Nullstelle von f angegen es fehlen also noch: Warum enthält K ein isomorphes Bild von k? Wie identifziere ich k mit seinem Bild in K? Wie berechne ich die Darstellung von a^6 in K? Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich dankbar.

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