Ring der Laurent-Polynome ist Hauptidealring

09.06.2013, 14:20

steviehawk

Ring der Laurent-Polynome ist Hauptidealring

Meine Frage:
Hey Leute, ich möchte gerne folgendes zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper. Analog zur Konstruktion des Polynomrings $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ erhält man den Ring der Laurent-Polynome:

$\begin{eqnarray*} K[X,X^{-1}] := \left\{ \sum\limits_{k\in \mathbb Z } a^kX^k | a_k \in K, \text {nur endlich viele } a_k \neq 0\right\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} K[X,X^{-1}] \end{eqnarray*}$ ein Hauptidealring ist.

Meine Ideen:
Ich weiß bereits, dass $\begin{eqnarray*} K[X,X^{-1}] \end{eqnarray*}$ ein Ring ist, steht ja schon da. Das heißt, ich muss noch zeigen, dass er kommutativ ist, dass es eine 1 gibt, dass er Nullteilerfrei ist und, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist!

stimmt das?

Das meißte sieht man recht schnell. Ich muss auf jedenfall zeigen, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist! Was könnte mir da helfen?

09.06.2013, 14:33

Slash123

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Hi,

betrachte das multiplikativ abgeschlossene System $\begin{eqnarray*} S = \{ 1, X, X^2, ... \} = \{ X^k | k \in \mathbb{N}_0\} \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße Wink

09.06.2013, 14:51

steviehawk

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mhh mit dem Hinweis kann ich irgendwie nichts anfangen! Wie sehen denn die Ideal hier aus?

09.06.2013, 14:53

Slash123

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Kennst du denn schon die Lokalisierung von Ringen? Wenn ja, stelle den Ring der Laurent-Polynome als Lokalisierung eines anderen Ringes bzgl. meines oben angegebenen multiplikativ abgeschlossenen Systems dar.

Ich muss jetzt mal für ne Stunde weg. Bin ca. ab 16:00 wieder da, evtl. auch etwas später. Wenn jemand das hier liest und übernehmen möchte, kann er dies gerne tun.

09.06.2013, 14:56

steviehawk

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Zitat:

Original von Slash123
Kennst du denn schon die Lokalisierung von Ringen?

09.06.2013, 16:03

tmo

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$\begin{eqnarray*} K[X,X^{-1}] \end{eqnarray*}$ ist als Quotient von $\begin{eqnarray*} K[X,Y] \end{eqnarray*}$ noethersch.

Ist $\begin{eqnarray*} I = (f_1, \dotsc, f_s) \end{eqnarray*}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray*} K[X,X^{-1}] \end{eqnarray*}$ , so gibt es in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X^nf_i \in K[X] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun das Ideal $\begin{eqnarray*} (X^nf_1, \dotsc , X^nf_s) \in K[X] \end{eqnarray*}$ . Was kannst du über dieses Ideal aussagen?

09.06.2013, 16:35

steviehawk

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Kann ich denn nicht "einfach" eine Normfunktion finden, so dass ich einen euklidischen Ring erhalte?

Ich hab nämlich im Skript den Satz: Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring!

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