Fragen zu Gruppen, Ringe und Körper

09.06.2013, 14:50

steviehawk

Fragen zu Gruppen, Ringe und Körper

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte ein paar Frage zu Gruppen, Ringe und Körper beantworten und hätte gerne etwas unterstützung smile

1) Ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit $\begin{eqnarray*} |R| = \infty \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} |R^*| = \infty \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} R^* \end{eqnarray*}$ die Einheitengruppe ist)

Ich bin der Meinung, dass das Falsch ist, den $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist komm. Ring mit $\begin{eqnarray*} |\mathbb Z| = \infty \end{eqnarray*}$ Aber da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z ^* = \pm 1 \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} |(\mathbb Z ^*)| = 2 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ist ein Körper

falsch. Wäre der Polynomring ein Körper, so gäbe es zu $\begin{eqnarray*} X \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ein Inverses $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Dann würde gelten: $\begin{eqnarray*} 0 = Grad(1_R) = Grad(fX) = Grad(f)+Grad(X) = Grad(f) + 1 \geq 1 \end{eqnarray*}$ Widerspruch

Meine Ideen:
stimmen die ersten beiden? Dann mache ich gleich weiter!

Ich mach mal weiter:

3) Sind R und S Ringe mit $\begin{eqnarray*} R \cong S \end{eqnarray*}$ dann ist jeder Ringhomom. auch ein Isomorphismus.

Falsch: Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} r \to 0 \end{eqnarray*}$ Nullabbildung z.B. für $\begin{eqnarray*} R=S=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist nicht surjektiv

09.06.2013, 17:54

weisbrot

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RE: Fragen zu Gruppen, Ringe und Körper
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist doch ein körper, wie kommst du auf polynome?
mit dem rest bin ich einverstanden.
lg

09.06.2013, 18:51

steviehawk

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RE: Fragen zu Gruppen, Ringe und Körper
ups, da sollte $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [X] \end{eqnarray*}$ stehen.

4) Jeder kommutative Ring ist Teilring eines Körpers.

hier fällt mir kein Gegenbeispiel ein! Ist die Aussage wahr?

5) Das homomorphe Bild eines Ideals I von R ist ein Ideal.

falsch! Da z.B. $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Ideal von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, aber unter dem Inklusionshomomorphimus $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb Z \to \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist 2Z kein Ideal mehr, da $\begin{eqnarray*} 0, \mathbb Q \end{eqnarray*}$ die einzigen Ideale des Körpers $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind.

6) Das Polynom $\begin{eqnarray*} X^3 + \overline 2 X + \overline 4 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$

Ja, denn es besitzt keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$

7) Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} X^9 + 7X + 7n \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [X] \end{eqnarray*}$

ja, denn wenn man mit $\begin{eqnarray*} p=7 \end{eqnarray*}$ redzuziert, erhält man: $\begin{eqnarray*} X^9 \end{eqnarray*}$ und Für X = 0 hat das doch eine Nullstelle oder?

09.06.2013, 21:18

tmo

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Zu 4) Denke daran, dass ein Körper nullteilerfrei ist.

Zu 5) passt.

Zu 6) passt.

Zu 7) Und was soll daraus dann folgen? Ist n nicht durch 7 teilbar, so ist das Polynom irreduzibel nach Eisenstein.

Aber ansonsten kannst du doch leicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ so bestimmen, dass z.b. $\begin{eqnarray*} -7 \end{eqnarray*}$ Nullstelle des Polynoms ist.

10.06.2013, 11:34

steviehawk

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zu 4) da es eine Teilmenge des Körpers ist, müsste auch diese Nullteilerfrei sein oder? Das ist aber nicht der Fall (zumindest nicht immer)
also falsch!

10.06.2013, 13:58

mathinitus

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RE: Fragen zu Gruppen, Ringe und Körper

Zitat:

Original von steviehawk
3) Sind R und S Ringe mit $\begin{eqnarray*} R \cong S \end{eqnarray*}$ dann ist jeder Ringhomom. auch ein Isomorphismus.

Falsch: Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} r \to 0 \end{eqnarray*}$ Nullabbildung z.B. für $\begin{eqnarray*} R=S=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist nicht surjektiv

Wie habt ihr Ringhomomorphismus definiert? Habt ihr nicht f(1)=1 gefordert?

10.06.2013, 14:02

RavenOnJ

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RE: Fragen zu Gruppen, Ringe und Körper

Zitat:

Original von mathinitus

Wie habt ihr Ringhomomorphismus definiert? Habt ihr nicht f(1)=1 gefordert?

Wer sagt denn, dass die Ringe eine 1 haben müssen?

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