Konvergenzradius

09.06.2013, 18:51

kimi...

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Konvergenzradius

hey,

kann mir jemand bitte helfen? Gesucht ist der Konvergenzradius.
Ich habe das Quotientenkriterium angewandt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^n}{1+2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty } | \frac{1+2^{n+1}}{1+2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty } | \frac{1+2^2*2}{1+2^n} | \end{eqnarray*}$

09.06.2013, 19:29

kimi...

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$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty } | \frac{1+2^n*2}{1+2^n} | \end{eqnarray*}$

09.06.2013, 19:36

10001000Nick1

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Klammer im Nenner und Zähler $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ aus.

Und unter dem Summenzeichen muss n=0 stehen, nicht k=0.

09.06.2013, 19:38

kimi...

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ist dann 1/(2^n)=0,

dann bekomme ich für r=2 raus

09.06.2013, 19:42

10001000Nick1

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Ja, der Konvergenzradius ist 2.

Zitat:

Original von kimi...
ist dann 1/(2^n)=0

Du meinst sicherlich das richtige. Du solltest aber lieber schreiben $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0 \end{eqnarray*}$

09.06.2013, 19:54

kimi...

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danke

smile

stimmt das hier so?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n*3^{2n}x^{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } x \frac{(-1)^n3^{2n} }{(-1)^n3^{2n+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } \frac{(-1*3^{2n})^n }{3(-1*3^{2n} )^n} \end{eqnarray*}$

r=1/3

$\begin{eqnarray*} r=\frac{\sqrt{3} }{3} \end{eqnarray*}$

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09.06.2013, 19:56

kimi...

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hab substituiert mit y=x^2

09.06.2013, 19:58

10001000Nick1

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Zitat:

Original von kimi...
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } x \frac{(-1)^n3^{2n} }{(-1)^n3^{2n+1} } \end{eqnarray*}$

Wieso steht da ein x? Und beachte, dass du den Betrag nehmen musst.

09.06.2013, 20:02

kimi...

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das x gehört da nicht hin und das sollte eig in betrag stehen. und dann hab ich einfach gekürzt

09.06.2013, 20:22

10001000Nick1

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OK. Wenn das in Betragsstrichen steht, fällt $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n} \end{eqnarray*}$ einfach weg. Du hast dann also nur noch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{3^{2n}}{3^{2(n+1)}} \end{eqnarray*}$ .

Es ist sehr wichtig, dass du im Zähler n+1 in Klammern schreibst, du hattest das nicht gemacht. Jetzt kommt nämlich etwas anderes raus.

09.06.2013, 20:24

kimi...

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oh ja stimmt. danke smile

smile

dann kommt ry=1/9 raus also r= 1/3

09.06.2013, 20:24

10001000Nick1

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Genau.

Freude

09.06.2013, 20:25

kimi...

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danke

smile

ich habe da noch eine frage. wie muss ich rechnen wenn da stehen würde n=1

09.06.2013, 20:27

kimi...

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^nx^{n} }{\sqrt{(3n-2)2^n} } \end{eqnarray*}$

09.06.2013, 20:29

10001000Nick1

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Da machst du genau das Gleiche. Denn es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n=\sum _{n=0}^\infty a_n-a_0 \end{eqnarray*}$ . Wenn also $\begin{eqnarray*} \sum _{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ .

09.06.2013, 20:30

kimi...

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ok ich versuche es mal smile

smile

09.06.2013, 20:33

Che Netzer

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Ein kurzer Hinweis:

Zitat:

Original von kimi...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n*3^{2n}x^{2n} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} (-1)^n\cdot3^{2n}\cdot x^{2n}=(-9x^2)^n \end{eqnarray*}$ und nach dem, was man über geometrische Reihen weiß, konvergiert diese Reihe genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} 9x^2<1 \end{eqnarray*}$ .

Bei der ersten Reihe kann man mit $\begin{eqnarray*} \frac1{2^{n+1}}\leq\frac1{1+2^n}\leq\frac1{2^n} \end{eqnarray*}$ ähnlich verfahren.

Zitat:

Denn es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n=\sum _{n=0}^\infty a_n-a_0 \end{eqnarray*}$ . Wenn also $\begin{eqnarray*} \sum _{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ .

In welchem Bezug steht das zur neuen "Aufgabe"?
Was soll $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ sein?

09.06.2013, 20:36

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Denn es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n=\sum _{n=0}^\infty a_n-a_0 \end{eqnarray*}$ . Wenn also $\begin{eqnarray*} \sum _{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ .

In welchem Bezug steht das zur neuen "Aufgabe"?
Was soll $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ sein?

Das steht noch nicht in Bezug zur neuen Aufgabe. Ich hatte noch nicht gesehen, dass da eine neue Aufgabe steht. Ich wollte das erstmal ganz allgemein schreiben, weil kimi ja gefragt hatte, was man bei n=1 machen muss. Deswegen habe ich auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ genommen.

09.06.2013, 20:47

kimi...

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ich komme auf r=1/3, stimmt das?

09.06.2013, 20:55

kimi...

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^n\sqrt{6(n+1)^2-4n-4} }{3^{n+1} \sqrt{6n^2-4n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^n\sqrt{6(n+1)^2-4n-4} }{3^n*3 \sqrt{6n^2-4n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{6n^2+8n-2} }{3 \sqrt{6n^2-4n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^2(6+8/n-2/n^2)} }{3 \sqrt{n^2(6-4/n)} } \end{eqnarray*}$

r=1/3

09.06.2013, 22:22

kimi..

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hab schon gesehen, dass mein rechenweg falsch ist, hab mit 2*n gerechnet, anstatt 2^n. danke für eure hilfe smile

smile

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