Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung |
| 09.06.2013, 19:56 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung: Meine Ideen: ich hab gesetzt, mit substituiert und bekomm folgende homogene Lösung: Und jetzt weiß ich nicht wie ich die partikuläre Lösung berechnen soll |
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| 09.06.2013, 20:27 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Deine rechte Seite hat die Form , mach also den Ansatz . |
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| 09.06.2013, 21:14 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Könntest du mir zeigen wie du auf diesen Ansatz gekommen bist? danke |
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| 09.06.2013, 21:17 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Das sollte eigentlich bekannt sein, als "Ansatz der rechten Seite" oder was auch immer. Wüsstest du, wie du für einen geeigneten Ansatz für die inhomogene Lösung finden könntest? Oder habt ihr bisher immer nur die Variation der Konstanten benutzt? |
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| 09.06.2013, 21:23 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Das Beispiel haben wir auch schon gemacht, Ich war mir nur nicht sicher ob der Ansatz stimmt, weil ich unter dieser Seite (siehe Störfunktion Nr.5): http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/...onst_Koeff.html den Ansatz für die Partikuläre Lösung gefunden habe, dort aber steht: yp(x) =(C1 + C2*t)* t*e^t |
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| 09.06.2013, 21:25 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Das liegt daran, dass dort bereits Lösung der homogenen Gleichung war. Deswegen wird im Ansatz noch mit einem weiteren multipliziert. Hier war bzw. noch keine Lösung der homogenen Gleichung. |
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| 09.06.2013, 21:34 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung ahh verstehe, aber in diesem fall: yh(x)= C1 * e^(2t) + C2 * e^(4t) müsste man den partikulären Ansatz noch mit einem t multiplizieren, sehe ich das richtig? Dann müsste am Ende für die oben angeschriebene homogene Lösung, folgender partikulärer Ansatz gelten: yp(x) =(C1*C2*t) * t * e^t ? |
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| 09.06.2013, 21:36 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Das ist doch immer noch derselbe Fall 
Wenn du aber o.ä. meinst: Ja, dann schon. Zumindest, wenn die erste Multiplikation eine Addition sein sollte. Außerdem "gilt" diese Lösung nicht; das ist vielmehr der Ansatz zum Finden einer partikulären Lösung. |
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| 09.06.2013, 21:42 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Hab mich verschrieben sorry, habs aber ehh noch auf Ansatz ausgebessert. Jetzt muss ich dann nur noch den partikulären Lösungsansatz 2 mal ableiten und in die DGL einsetzen, damit ich die Konstante rausbekomme, stimmt das so? |
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| 09.06.2013, 21:43 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung
Genau. Ein Ansatz gilt aber auch nicht, er wird verwendet oder gemacht. |
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| 09.06.2013, 21:45 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Perfekt, danke 
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| 10.06.2013, 02:19 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Hallo, Ich hab schon wieder ein kleines Hindernis bei diesem Beispiel: und zwar habe ich wie folgt weiter gerechnet: yp(t)=u(t)=(C1*t+C2*t^2)*e^t yp'(t)=u'(t)=(C2*t^2+C1*t+2*C2*t+C1)*e^t yp''(t)=u''(t)=(C2*t^2+C^*t+4*C2*t+2*C1+2*C2) diese Ergebnisse habe ich dann in die ebenfalls substituierte DGL eingesetzt: DGL am Beginn: x^2*y''-5*x*y'+8y=x*ln|x| DGL nach der Substitution: u''(t)-6*u'(t)+8u(t)=t*e^t Einsetzen der Ableitungen + Vereinfachen: 3*C2*t^2 + 3*C1*t - 8*C2*t - 4*C1 + 2*C2 = t Beim berechnen der Konstanten mittels Koeffizientenvergleich kommt bei mir nicht wirklich was brauchbares raus, wollte es nämlich so angehen: t^2: 3*C2=0 => C2=0 => stimmt aber bestimmt nicht... t: 3*C1 - 8*C2 =1 => 3*C1 - 8*(2*C1) => C1= -1/13 1: - 4*C1 + 2*C2=0 => C2= 2*C1 => C2= -2/13 kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?? |
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| 10.06.2013, 08:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung
Jetzt hast du ja doch ein eingeschoben... |
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| 10.06.2013, 16:01 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Inhomogene Euler'sche Differentialgleichung Hallo Che Netzer, Ich hoffe ich habe es jetzt richtig: yp(t)=(C1+C2*t)*e^t yp'(t)=(C1+C2*t)*e^t+C2*e^t yp''(t)=(C1+C2*t)*e^t+2*C2*e^t Einsetzen der Ableitungen in die substituierte DGL (schon um e^t gekürzt): C1 + C2*t + 2*C2 - 6*C1 - 6*C2*t -6*C2 + 8*C1 + 8*C2*t = t vereinfacht: 3*C2*t + 3*C1 - 4*C2 =t Koeffizientenvergleich: t: 3*C2=1 => C2=1/3 1: 3*C1 - 4*C2 = 0 => 3*C1=4*C2 => C1=4/9 Dann würde meine partikuläre Lösung doch wie folgt aussehen: yp(t)=( (4/9) + (1/3)*t ) * e^t => Rücksubstituieren: yp(x) = ( (4/9) + (1/3)*ln|x| ) * x Die allgemeine Lösung wäre dann: y(x)=yh(x)+yp(x)= A*x^2 + B* x^4 + ( (4/9) + (1/3)*ln|x| ) * x Stimmt das jetzt so? |
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| 10.06.2013, 19:19 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das stimmt. |
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| 10.06.2013, 19:48 | CaptainAwesome | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
yeah 
danke che netzer!! 
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