Äquivalenzrelation

Neue Frage »

relativ Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation
Meine Frage:
Hi Leute,
ich hab hier eine Aufgabe zur Äquivalenzrelation und wollte nun fragen, ob ich das bisher richtig gemacht habe.

Die Aufgabe lautet: Sei . Geben Sie alle Äquivalenzrelationen an.

Meine Ideen:
Als erstes hab ich alle Relationen angegeben, welche ja gleich sind.

Wenn ich nun betrachte seh ich ja schon mal, dass sie reflexiv ist, da ist und wenn ich (1,2) und (2,1) betrachte seh ich, dass sie symmetrisch ist, da . Nur wie zeig ich nun, dass sie auch transitiv ist?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Zitat:
Original von relativ
Meine Ideen:
Als erstes hab ich alle Relationen angegeben, welche ja gleich sind.


Das, was du angegeben hast, ist einfach nur . Das ist nichtmal eine Relation, geschweige denn alle Äquivalenzrelationen. Eine Relation ist ja immer ein Tripel. Was meinst du denn, wie viele Relationen es überhaupt auf V gibt? Wie viele davon sind wohl Äquivalenzrelationen?

Edit: Warum sollte sein? Das passt selbst in der Mengenleere nicht, in der man alle mathematischen Objekte als Menge auffasst, denn da ist .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Zitat:
Original von mathinitus
Das, was du angegeben hast, ist einfach nur . Das ist nichtmal eine Relation, geschweige denn alle Äquivalenzrelationen. Eine Relation ist ja immer ein Tripel.

Das würde ich jetzt nicht so eng sehen. Relationen auf einer vorgegebenen Menge V werden üblicherweise mit den Teilmengen von identifiziert... Augenzwinkern

Davon abgesehen ist aber der Zugang über die Relationen ohnehin ein falscher und hier nur möglich, weil die Menge V so aberwitzig klein ist... Für V={1,2,3} hatte man z.B. schon , also 512 Relationen daraufhin zu untersuchen, ob sie Äquivalenzrelationen sind, was natürlich völlig absurd ist... Der richtige Zugang geht daher über die Partitionen von V...
relativ Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt nun ich bin falsch vorgegangen?

@Mystic
Wie kommst du denn auf bei V={1,2,3}. Wenn ich das richtig interpretiert hab wären das bei V={1,2} dann , also 16 Relationen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von relativ
@Mystic
Wie kommst du denn auf bei V={1,2,3}. Wenn ich das richtig interpretiert hab wären das bei V={1,2} dann , also 16 Relationen?

Ja, es wäre hier 16 verschieden Relationen zu untersuchen, da man jedes Paar in {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} entweder in eine Relation R auf V hineinnehmen oder nicht hineinnehmen kann... Die Aufgabe ist aber damit gerade noch so machbar, dass man jede der 16 Relationen auf {1,2} daraufhin untersucht, ob sie die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt... Viel, viel einfacher geht es aber wie gesagt über Partitionen... Augenzwinkern
relativ Auf diesen Beitrag antworten »

Achso könntest du mir mal 2-3 Beispiele, von den 16 Relationen angeben? Dann werd ich mich mal zu den Partitionen belesen smile
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hier hast du 3 Stück von den 16... Augenzwinkern

(reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch)
(symmetrisch, aber nicht transitiv und nicht reflexiv)
(transitiv, aber weder reflexiv, noch symmetrisch)

Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch und transitiv) ist alles noch keine dabei...
relativ Auf diesen Beitrag antworten »

Also wären das dann die 16 Relationen:
(Äquivalenzrelation, da reflexiv, transitiv und symmetrisch)
(nicht reflexiv, nicht transitiv und nicht symmetrisch)
(nur transitiv)
(nur transitiv)
(nur reflexiv)
(nur reflexiv)
(symmetrisch und transitiv)
(nur transitiv)
(nur transitiv)
(nur transitiv)
(nur transitiv)
(reflexiv, symmetrisch, transitiv?)
(reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch)
(reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch)
(transitiv, nicht symmetrisch, nicht reflexiv)
(transitiv, nicht symmetrisch, nicht reflexiv)

Allerdings bin ich mir bei (reflexiv, symmetrisch, transitiv?) nicht sicher. Das sie reflexiv und symmetrisch ist, ist ja klar, aber auch transitiv? Und wenn ja, warum?
Fox90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich mal angemeldet, da ich den beitrag nicht editieren konnte und da noch einige Fehler drin sind unglücklich
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Immer daran denken: Wenn eine der 3 Eigenschaften nicht gilt, muss du das begründen können mit einem Gegenbeispiel... Wenn du sagst wäre nicht transitiv und nicht symmetrisch, wie sehen da deine jeweiligen Gegenbeispiele aus? verwirrt

Außerdem: und sind nicht reflexiv, und sind beide symmetrisch, aber nicht transitiv... unglücklich
Fox90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Außerdem: und sind nicht reflexiv, und sind beide symmetrisch, aber nicht transitiv...


Warum ist dies so? Wenn ich mir oder als Graph vorstelle, dann hab ich doch einen Knoten mit einen Pfeil auf sich selbst?

Und warum liegt bei und keine Transitivität vor? Das Symmetrie vorliegt stimmt schon, da (1,2) und (2,1).

Und das Gegenbeispiel zu wäre dann nen Graph bzw. einfach nur nen Knoten ohne alles.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fox90
Zitat:
Außerdem: und sind nicht reflexiv, und sind beide symmetrisch, aber nicht transitiv...


Warum ist dies so? Wenn ich mir oder als Graph vorstelle, dann hab ich doch einen Knoten mit einen Pfeil auf sich selbst?

Reflexivitität heißt doch per definitionen



d.h., ausnahmslos alle Knoten des Graphen haben eine "Schleife", und nicht, wie du offenbar glaubst



Du soltest lernen, Definitionen vom Sinn her zu erfassen, solche Trivialfehler dürfen einfach nicht passieren... unglücklich

Zitat:
Original von Fox90
Und warum liegt bei und keine Transitivität vor?

Ganz einfach, weil es jeweils Gegenbeispiele dazu gibt, z.B. ist in



ein solches... Was wäre also dann in eines?

Zitat:
Original von Fox90
Und das Gegenbeispiel zu wäre dann nen Graph bzw. einfach nur nen Knoten ohne alles.

Der Sinn dieses Satzes erschließt sich mir nicht, sorry... geschockt

Ganz abgesehen davon: Warum argumentierst du immer mit dem Graphen zu der Relation? Die Definition der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nehmen ja auch keinen Bezug auf den Graphen... Halte dich einfach stur an die formalen Definitionen und wenn eine der Eigenschaften nicht gilt, dann muss immer ein Gegenbeispiel her...
Fox90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja an der Definition haperts etwas, darum fällt mir wohl so eine eigentlich einfache Aufgabe so schwer. Also wäre das Gegenbeispiel zu dann:

?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fox90
Ja an der Definition haperts etwas, darum fällt mir wohl so eine eigentlich einfache Aufgabe so schwer. Also wäre das Gegenbeispiel zu dann:

?


Vermutlich meinst du ja das Richtige, logischer wäre es allerdings, das so anzuschreiben:



da ja auch die Bedingung der Transitivität so aussieht



d.h., wählt man hier x=2, y=1, so sieht man, dass diese Implikation hier nicht immer gilt...
Fox90 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun betrachte, sieht das Gegenbeispiel dann so aus?:

(nicht reflexiv, nicht transitiv und nicht symmetrisch)
Gegenbeispiel:

Und kannst du nochmal drüber schauen ob ich die Relationen jetzt alle ordentlich eingeordnet hab, damit ich die Gegenbeispiele aufstellen kann:

r = reflexiv, s= symmetrisch, t=transitiv

(Äquivalenzrelation, r, s und t)
(nicht r, nicht s und nicht t)
(nur t)
(nur t)
(nicht r, nicht s und nicht t)
(nicht r, nicht s und nicht t)
(nicht r, s und t)
(nicht r, nicht s, t)
(nicht r, nicht s, t)
(nicht r, nicht s, t)
(nicht r, nicht s, t)
(Äquivalenzrelation, r, s und t)
(r, nicht s, t)
(r, nicht s, t)
(nicht r, s, nicht t)
(nicht r, s, nicht t)

Glaube nämlich, dass da noch Fehler drin sind unglücklich ... musst auch nur die Relationen mit Fehler nennen, den Rest versuche ich dann wieder
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fox90
Wenn ich nun betrachte, sieht das Gegenbeispiel dann so aus?:

(nicht reflexiv, nicht transitiv und nicht symmetrisch)
Gegenbeispiel:

Oh je, das hast du wirklich noch nicht verstanden...

ist nicht reflexiv

das stimmt noch einigermaßen, aber die Relation ist selbstverständlich symmetrisch und auch transitiv... Wo in aller Welt soll man denn die Paare hernehmen, um damit ein Gegenbeispiel zu konstruieren, wenn in R gar keine Paare liegen??? M.a.W. es gibt für diese Eigenschaften kein Gegenbeispiel!!! unglücklich

Was deine Liste betrifft, ist die tatsächlich noch unglaublich fehlerhaft... Wie soll z.B. in ein Gegenbeispiel für die Symmetrie bzw. Transitivität denn aussehen? geschockt

Bitte ordne sie doch nach der Anzahl der Elemente, also die leere Relation zuerst, die Allrelation zum Schluss und sag wirklich nur, dass eine Eigenschaft nicht gilt, wenn du ein Gegenbeispiel parat hast!
Fox90 Auf diesen Beitrag antworten »

Genügt es wenn ich mir immer eine Eigenschaft "rauspicke" die gerade nicht vorliegt und dann das Gegenbeispiel bringe?

Hab das nun mal so umgesetzt und hoffe das ich dich richtig verstanden habe, nicht desto trotz sind immer noch Fragen offen zu manchen Relationen, ich hoffe du bist weiter so geduldiig mit mir smile


Wie du schon sagtest, enthält diese Relation keine Elemente, wie kann sie dann symmetrisch und transitiv sein?

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:

(nicht reflexiv)
Gegenbeispiel:


Diese Relation ist ja reflexiv, aber warum auch transitiv und symmetrisch?)

(nicht symmetrisch)
Gegenbeispiel:

(nicht symmetrisch)
Gegenbeispiel:

(nur symmetrisch)
Gegenbeispiel:

(nur symmetrisch)
Gegenbeispiel:


(Äquivalenzrelation, da reflexiv, transitiv und symmetrisch)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fox90
Genügt es wenn ich mir immer eine Eigenschaft "rauspicke" die gerade nicht vorliegt und dann das Gegenbeispiel bringe?

In Bezug auf Äquivalenzrelationen gilt das sicher... Augenzwinkern

Da du die Relationen jetzt endlich auch in vernünftiger Weise - nämlich der Größe nach - geordnet hast, können wir die einzelnen Eigenschaften uns hier mal genauer ansehen:

1. Reflexivität:

Dazu muss nach Definition hier gelten



Für die Paare (1,2) und (2,1) ist es dagegen vollkommen irrelevant, ob sie in R liegen oder nicht, die spielen hier nur eine Statistenrolle...

Damit sind also dann genau deine Relationen



reflexiv...

2. Symmetrie, also



Dazu muss also dann gelten, dass (1,2) und (2,1) entweder beide oder keines von beiden in R liegen, also



Damit sind also dann genau deine Relationen



symmetrisch...

3. Transitivität, also



Ein Gegenbeispiel dazu kann nur in folgender Weise gefunden werden, dass (1,2) und (2,1) beide in R liegen, aber entweder (1,1) oder (2,2) nicht... Insbesondere sind hier die Relationen, welche {(1,2),(2,1)} nicht als Teilmenge enthalten, automatisch transitiv...

Damit sind also dann genau deine Relationen



nicht transitiv... Die Tansitivität gilt also hier in der Regel schon, da man meist nicht genügend Elemente hat, um damit ein Gegenbeispiel aufbauen zu können...

Nach dieser erschöpfenden Klassifikation sollte es dir nun leicht fallen, deine obigen Aussagen selbst nochmals zu kontrollieren... Augenzwinkern
Fox90 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diese super Erläuterung Gott ... Ich denke nun hab ich es endlich komplett verstanden smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fox90

Wie du schon sagtest, enthält diese Relation keine Elemente, wie kann sie dann symmetrisch und transitiv sein?[...]


Diese Relation ist ja reflexiv, aber warum auch transitiv und symmetrisch?)

Ja, ich hoffe, dass sich damit insbesondere auch diese Fragen noch geklärt haben... Immer daran denken: Eine Eigenschaft gilt, wenn es prinzipiell nicht möglich ist ein Gegenbeispiel dafür zu finden... Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »