Skalarprodukt im Prä-Hilbertraum |
| 09.06.2013, 21:18 | gbk97 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Skalarprodukt im Prä-Hilbertraum mal wieder eine Frage von mir. ich ahbe eine Frage zu den Axiomen gzgl. eines Skalarprodukts ((x,y), die in einem Vektorraum (H) gelten müssen, damit er ein Prähilbertraum ist (seien x,y H): Es gilt ja, dass: (x+y,z)=(x,z)+(y,z) und (x,y+z)=(x,y)+(x,z) gilt dann auch, dass (x+y,x-y)=(x,x-y)+(y,x-y)+(x+y,-y)+(x+y,x) Im normalfall würde ich einfach einmal x+y substituieren bzw. y+z und sagen es gilt, aber kann man das auch in diesem Fall machen? Gruß gbk97 |
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| 09.06.2013, 21:29 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi gbk, Deine Gleichung stimmt nicht ganz. Es gilt (x+y,x-y)=(x,x-y)+(y,x-y) Du hast hier das erste Argument auseinandergezogen und das zweite beibehalten. Weiter nichts, mehr kommt da nicht. Genauso gilt auch (x+y,x-y) = (x+y, x)+ (x+y, -y). Hier wurde dann das zweite Argument auseinandergezogen. Beides zusammen ist aber dann das doppelte von dem, was du auf der linken Seite hast. |
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| 09.06.2013, 21:39 | gbk97 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey Nofeykx, danke für deine Antwort. Irgendwie leuchtet es schon ein, was du sagst. Allerdings habe ich dann eine Frage: Ich sitze gerade an folgender Aufgabe: (x + y; x - y) = ||x||^2-||y||^2 Dann würde ja gelten, dass (x + y; x - y) =(x,x-y)+(y,y-x). Allerdings kann ich ja dann gar nichts mehr weiter vereinfachen, auper vielleicht das minus rausziehen. Denn nachdem was du gesagt hast dürfte dann ja auch nicht gelten, dass ich (x,x-y)+(y,y-x) =(x,x)+(x,-y)+(y,y)+(y,-x) weitervereinfachen darf? Hast du mir dann vielleicht einen Tipp, wie ich da dann weitermachen kann? Gruß gbk |
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| 09.06.2013, 21:45 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, das geht. Das ist etwas völlig anderes, als das, was du oben geschrieben hast. Ich frage mich gerade ein bisschen, wo du da die Verbindung siehst. Vielleicht einfach nochmal genau angucken. Dann siehst du, dass das eine genau die Regeln erfüllt, während du bei dem anderen Teil etwas doppelt hast. |
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| 09.06.2013, 21:47 | Nofeyks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du siehst doch auch, dass das nicht stimmen kann, wenn du diese Umformung hier: (x+y,x-y)=(x,x-y)+(y,x-y)+(x+y,-y)+(x+y,x) und (x,x-y)+(y,y-x) =(x,x)+(x,-y)+(y,y)+(y,-x) zusammen verwendest, bekommst du doch, dass (x + y; x - y) = ||x||^2-||y||^2 + (x+y,-y)+(x+y,x) (denn das ist ja dann übrig) |
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| 09.06.2013, 21:54 | gbk97 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
berechtigte Frage, wenn ich das gerade nochmal durchschaue!(also gilt schlicht und ergreifend: (x+y,x-y)=(x,x-y)+(y,x-y)=(x,x)-(x,y)+(y,x)+(y,y)=(x,x)-(y,y)=||x||^2-||y||^2 bei entsprechend definierter Norm. Danke schön für deine Hilfe! Dann mal gute Nacht! Gruß gbk97 |
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| 09.06.2013, 21:56 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau, super 
Gute Nacht. |
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| 09.06.2013, 22:01 | gbk97 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
falls es noch jemand sieht: ist in jedem prähilbertraum die Norm als: ||x||:= definiert oder ist das ein Fehler in meinem Skript? Wäre ja nicht der erste 
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| 09.06.2013, 22:24 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei uns wurde das ähnlich definiert. Dort steht: Ein Vektorraum X über K mit Skalarprodukt heißt Prähilbertraum, wenn er mit der vom Skalarprodukt induzierten Norm versehen ist. Dies ist ein spezieller normierter Raum. Also ja, bei uns wurde das auch so definiert. |
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| 09.06.2013, 22:57 | gbk97 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, perfekt. Vielen Dank! |
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| 10.06.2013, 06:54 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier hat sich schon der erste Vorzeichenfehler eingeschlichen, der später einfach ignoriert wurde. |
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| 10.06.2013, 21:41 | gbk97 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da hast du natürlich Recht. Danke noch für den Hinweis! |
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