Legendre-Symbol

10.06.2013, 08:45	Kevin888	Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre-Symbol Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl mit $\begin{eqnarray} p\equiv 1(mod 4) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ungerade mit $\begin{eqnarray} p=a^{2}+b^{2} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ - \\ p \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe versucht das Eulerkriterium anzuwenden aber damit konnte ich nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ - \\ p \end{pmatrix} \equiv b^{\frac{p-1}{2} }(mod p) \end{eqnarray}$ ist, was mich nicht wirklich weiter bringt. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
10.06.2013, 17:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ein Primteiler von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Beachte, dass $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ungerade ist, weswegen man das Reziprozitätsgesetz anwenden kann, um $\begin{eqnarray} \left(\frac{q}{p} \right) \end{eqnarray}$ zu berechnen. Tue dies mal.
11.06.2013, 07:32	Kevin888	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} q \\ - \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ - \\ q \end{pmatrix} \equiv p^{\frac{q-1}{2} } \equiv (a^{2}+b^{2}) ^{\frac{q-1}{2} } \left(mod q\right) \end{eqnarray}$
11.06.2013, 07:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hör doch mal mit dem Euler-Kriterium auf, das verkompliziert die Sache hier nur... Du musst also herausfinden, ob $\begin{eqnarray} a^2+b^2 \end{eqnarray}$ ein Quadrat mod $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ist. Was ist denn erstmal $\begin{eqnarray} a^2+b^2 \mod q \end{eqnarray}$ ? Das kann man doch noch vereinfachen.
11.06.2013, 16:07	Kevin888	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, dann habe ich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} q \\ - \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ - \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} \\ - \\ q \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray}$ Denn: $\begin{eqnarray} a^{2}+b^{2}\equiv b^{2} (modq) \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nur ungerade Primteiler hat, kann ich das ganze denn für jeden Teiler anwenden. Richtig?
12.06.2013, 07:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so ist es.
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