Differentialgeometrie Raumkurven

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10.06.2013, 13:14	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie Raumkurven Meine Frage: Hallo Leute, ich habe hier eine Aufgabe, wo ich einen Rat brauche! Sei $\begin{eqnarray} c: I \to \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit nicht verschwindender Krümmung $\begin{eqnarray} \kappa \neq 0 \end{eqnarray}$ . Wir betrachten die Kurve: $\begin{eqnarray} \tilde{c}: I \to S^2 \subset \mathbb R^3 \text{ } t \mapsto v(t):=c'(t) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ eine reguläre Kurve ist, und berechnen Sie ihre Krümmung und Torsion. Welche Kurve $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ entsteht, wenn c die Helix ist? Meine Ideen: Also, dass $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ regulär ist, sieht man leicht, da: $\begin{eqnarray} \tilde c ' = c''(t) \end{eqnarray}$ gilt und somit: $\begin{eqnarray} \|\| \tilde c ' \|\| = \|\|c''(t) \|\| = \kappa _c \neq 0 \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eine Helix war, dann gilt z.B. $\begin{eqnarray} c(t) = \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und so $\begin{eqnarray} \tilde c(t) = \begin{pmatrix} -cos \\ sin(t) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dies wäre dann ein Kreis mit Ursprung als Mittelpunkt, der um 1 in z-Richtung verschoben wurde! (stimmt das so?) Bei der Frage nach der Berechnung der Krümmung und Torsion, weiß ich nicht genau worauf man hinaus möchte, habe ja keine Zahlen und nichts gegeben. Ich kann natürlich mal einsetzten: Formel für Krümmung und Torsion für nicht nach Bogenlänge parametriesierte Kurven sind auf dem Blatt in einer anderen Aufgabe!
10.06.2013, 19:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Deine Helix ist nicht nach Bogenlänge parametrisiert... Wenn du mit $\begin{eqnarray} \{t,n,b\} \end{eqnarray}$ aber mal den Frenet-Rahmen bezeichnest (welche Bezeichnungen benutzt ihr da?), hast du $\begin{eqnarray} \tilde c=t \end{eqnarray}$ . Was ist nun der Tangentialvektor $\begin{eqnarray} \tilde t \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ ?
10.06.2013, 20:02	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Wir nennen: $\begin{eqnarray} v,n,b \end{eqnarray}$ das begleitenden Dreibein. wobei: $\begin{eqnarray} c'(t) = v(t) \end{eqnarray}$ ist. es ist ja: $\begin{eqnarray} \tilde c (t) = v(t) \end{eqnarray}$ Deshalb ist dann: $\begin{eqnarray} \tilde c' = v' \end{eqnarray}$
10.06.2013, 20:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Und welche Gleichung kennst du für $\begin{eqnarray} v' \end{eqnarray}$ ? Was ist dann $\begin{eqnarray} \tilde v \end{eqnarray}$ ?
10.06.2013, 20:10	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Ich kenne die Frenetgleichung: $\begin{eqnarray} v' = \kappa_c n \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \tilde c ' = \tilde v = \kappa_c n \end{eqnarray}$
10.06.2013, 20:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Beachte, dass $\begin{eqnarray} \tilde v \end{eqnarray}$ normiert sein muss. Die Kurve $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ ist ja nicht notwendigerweise nach Bogenlänge parametrisiert.
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10.06.2013, 20:56	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven okay.. ich kann ja $\begin{eqnarray} \tilde v \end{eqnarray}$ noch normieren.. weiß gerade ehrlich gesagt noch garnicht, worauf wir gerade hinauswollen - sind wir noch bei der Helix oder bestimmen wir Krümmung und Torsion?
10.06.2013, 20:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Wir wollen Krümmung und Torsion bestimmen.
10.06.2013, 21:17	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven aus den Frenetgleichungen?
10.06.2013, 21:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Genau.
10.06.2013, 21:36	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Wie kann ich denn die Frenetgleichungen anwenden? Mein $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ ist ja nicht nach Bogenlänge parametrisiert.
10.06.2013, 21:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Beachte die Kettenregel: Die Ableitung nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ entspricht der Ableitung nach Bogenlänge von $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ mit Multiplikation mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \lVert\tilde c\rVert=\kappa_c \end{eqnarray}$ .
10.06.2013, 21:50	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven welche Gleichung betrachtest du denn jetzt?
10.06.2013, 21:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Gar keine. Wieso sollte ich auch eine Gleichung betrachten?
10.06.2013, 21:59	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Also ich sehe gerade vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr! Ich habe aus der Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray} \tilde c(t) = v(t) = c'(t) \end{eqnarray}$ wie setze ich denn da an, um die Krümmung zu bestimmen? Ich weiß wenn ich das oben ableite: $\begin{eqnarray} \tilde c'(t) = v'(t) = c''(t) \end{eqnarray}$ und mit der Norm: $\begin{eqnarray} \|\| \tilde c'(t) \|\|= \|\|v'(t)\|\| = \|\|c''(t)\|\| = \kappa_c \end{eqnarray}$
10.06.2013, 22:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Ja. Und welchen Tangentialvektor hat damit $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ ? Wie lautet dessen Ableitung?
11.06.2013, 08:37	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Der Tangentialvektor von $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \tilde c' = \tilde v = c'' \end{eqnarray}$ und für dessen Ableitung erhalte ich: $\begin{eqnarray} \tilde v' = v'' = c''' \end{eqnarray}$ Wie kommt denn da jemals die Krümmung von $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ ins Spiel??
11.06.2013, 08:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie Raumkurven Das ist eben nicht der normierte Tangentialvektor! Wir waren schon bei $\begin{eqnarray} \tilde c'=v'=\kappa_cn \end{eqnarray}$ . Das brauchst du jetzt nur noch zu normieren. Die Krümmung kommt nun folgendermaßen ins Spiel: Die ist gerade durch $\begin{eqnarray} \tilde v'=\kappa_c\tilde\kappa\tilde n \end{eqnarray}$ gegeben.

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