Gleichmäßige Stetigkeit

10.06.2013, 13:26

dibroarb

Gleichmäßige Stetigkeit

Passt das?

Aufgabe: Zeigen (oder widerlegen) Sie: die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f: R -> R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ ist gleichmäßig stetig.

Behauptung: f ist gleichmäßig stetig.

Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Aus $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| = |1/1+x^2 - 1/1+(x_0)^2| = \frac{|(x_0)^2-x^2|}{|(1+x^2)*(1+(x_0)^2)} = |x-x_0| * \frac{|x+x_0|}{(1+x^2)*(1+(x_0)^2)} \le |x-x_0| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
Genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

10.06.2013, 14:02

shipwater

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit

Zitat:

Original von dibroarb
$\begin{eqnarray*} |x-x_0| * \frac{|x+x_0|}{(1+x^2)*(1+(x_0)^2)} \le |x-x_0| \end{eqnarray*}$

Das solltest du eigentlich noch begründen.

Gruß Shipwater

10.06.2013, 14:03

mathinitus

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit

Zitat:

Original von dibroarb
Genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Genau dann sicherlich nicht!

10.06.2013, 14:11

dibroarb

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit

Zitat:

Original von mathinitus

Zitat:

Original von dibroarb
Genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Genau dann sicherlich nicht!

hmm

aber dann ist doch

$\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$ und dies kommt am Ende auch raus bei
$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| .. \end{eqnarray*}$ ?

10.06.2013, 14:16

mathinitus

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Wenn $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon/2 \end{eqnarray*}$ gilt, ist auch $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ aber aufgrund von $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt nicht $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\delta \end{eqnarray*}$ .

10.06.2013, 15:13

dibroarb

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Achso.. Also das was stört ist "Dann wenn" oder?
Aber ansonsten für den Beweis i.O.?

-

Was das Zeigen der Abschätzung angeht.. Wie zeige ich die noch?

Hätte umgeformt zu

$\begin{eqnarray*} |x+x_0| \le (1+x^2)*(1+(x_0)^2) => |x+x_0| \le 1 + (x_0)^2 + x^2 + x^2*(x_0)^2 \end{eqnarray*}$ .. ?

11.06.2013, 12:12

dibroarb

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Wollte nochmal kurz um Hilfe bitten smile

wegen der Abschätzung..

12.06.2013, 17:54

mathinitus

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Zitat:

Original von dibroarb
Hätte umgeformt zu

$\begin{eqnarray*} |x+x_0| \le (1+x^2)*(1+(x_0)^2) => |x+x_0| \le 1 + (x_0)^2 + x^2 + x^2*(x_0)^2 \end{eqnarray*}$ .. ?

Also das stimmt sicherlich, aber schreib doch $\begin{eqnarray*} x_0^2 \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} (x_0)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} => \end{eqnarray*}$ .

13.06.2013, 22:51

shipwater

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Du kannst quadrieren und dann zusammenfassen. Und du solltest hier mit $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ arbeiten.

Gruß Shipwater

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