Addition von Winkelgeschwindigkeiten

10.06.2013, 14:29

mathemäuschen

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Addition von Winkelgeschwindigkeiten

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich brauche Hilfe bei der Addition von Winkelgeschwindigkeiten. Nehmen wir an, wir haben einen Roboter mit einem Gelenk, einem Endeffektor und dazwischenliegenden Links (also wie der Arm bei einem Menschen). Ich weiß, die Winkelgeschwindigkeit an der "Schulter" des Roboters und die am "Ellenbogen", wobei es vorerst optional ist, ob im Gelenk ein weiterer Motor vorhanden ist und er erneut beschleunigen kann. Wie bekomme ich die maximale Geschwindigkeit des Endeffektors?

Meine Ideen:
Alles, was ich bis jetzt zu dem Thema gefunden habe, war folgende Formel

$\begin{eqnarray*} \omega_{0}^{2} = \omega_{0}^{1} + R_{0}^{1}\omega_{1}^{2} \end{eqnarray*}$

mit dem Kommentar:

"Um Winkelgeschwindigkeiten also zu addieren, müssen sie im selben Koordinatensystem repräsentiert werden."

(siehe: http://robotik-lernen.wikidot.com/geschwindigkeitskinematik)

Aber irgendwie kann ich das nicht interpretieren. Liegt vielleicht auch daran, dass mir die Hälfte der Formeln auf der Seite nicht angezeigt wird.

Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

Vielen Dank im Voraus.

Euer Mathemäuschen

10.06.2013, 17:01

MaxderMathematiker

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Hi,

also erstmal allgemein zu deiner Frage. Du sollst ja Winkelgeschwindigkeiten addieren. Wie würdest du denn ganz normale Geschwindigkeiten addieren? Nehmen wir mal an, du würdest in einem Zug fahren, der 20 km/h fährt, und dich selber mit 2 km/h in dieselbe Richtung bewegen. Wie schnell würdest du dann für einen Außenstehenden sein?

10.06.2013, 18:10

alterHund

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die Formel kann nicht so einfach sein, es ist doch wohl das $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ der Strichlierten linie ( siehe Anhang)
gemeint, das ja auch von der augenblickichen Postion der Arme abhängt.

10.06.2013, 18:14

Dopap

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Winkelgeschwindigkeiten sind auch Vektoren und werden dementsprechend addiert.
Es sieht aber so aus, als ob alle Drehungen in einer Ebene stattfänden.
Aber welcher Arm mit welchem Zusatzarm wie rotiert ist mir nicht klar verwirrt

verwirrt

-----------------------------

edit: da ist wenigstens mal eine Zeichnung !

10.06.2013, 19:20

Dopap

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wenn wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ sich auf den Hebelarm $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ bezieht, dann würde ich Position von C wiefolgt bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \vec c(t)= \binom {r_1 \cos(\omega_1 t)+r_2 \cos ((\omega_1+\omega_2)t)} {r_1 \sin(\omega_1 t)+r_2 \sin ((\omega_1+\omega_2)t)} \end{eqnarray*}$

rechnet man das in Polarkoordinaten, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \varphi (t) = \arctan \left(\frac {r_1 \sin(\omega_1 t)+r_2 \sin((\omega_1+\omega_2)t)}{r_1 \cos(\omega_1 t)+r_2 \cos ((\omega_1+\omega_2)t)}\right) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \dot{\varphi} =\omega(t) \end{eqnarray*}$ ist dann nur noch die zeitliche Ableitung von oben. Big Laugh

Big Laugh

sieht irgendwie nicht sehr praktikabel aus. Man muss aber auch sagen, dass die gekoppelten Drehungen eben nicht einfach sind.
Das ist manchmal auch gewollt: Auf der Kirmes gibt es den Kraken. An dessen 4 Armen sitzen kreisförmig 4 Gondeln. Die Krake und die Gondeln drehen sich.
Wer da mal mitgefahren ist, weiss, dass die Winkelgeschwindigkeit und vor allem die Beschleunigung ziemlich "zufällig" auftreten und deshalb eben Spass machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2013, 10:37

mathemäuschen

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Vielen Dank für Eure Antworten!

In welchem Fall dürfte ich denn die Winkelgeschwindigkeiten "einfach" wie Vektoren addieren?

@Dopap: Was entspricht denn $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ ? Was wäre, wenn es ein 3-dimensionaler Raum wäre?

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11.06.2013, 11:23

alterHund

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hier eine bessere Zeichnung; die gesuchte, nicht konstante, Winkelgeschwindigkeit, ist, m.M., $\begin{eqnarray*} \frac{d \sigma}{d t} \end{eqnarray*}$ ;
"einfach" als Vektoren adieren geht nicht;
Dopap's Formeln müßten wohl etwa geändert werden.

11.06.2013, 11:37

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von alterHund
Dopap's Formeln müßten wohl etwa geändert werden.

Aber nicht viel - statt w1+w2 muss da nur w2 stehen, es ist ja ein rotierender Zeiger, der auf einen anderen rotierenden Zeiger draufaddiert wird. Das kann man schön mit komplexen Zahlen rechnen. Der Rest stimmt dann.

Korrigiert man die Formel entsprechend, erhält man für die Winkelgeschwindigkeit laut unserem Ableitungsrechner:

$\begin{eqnarray*} w(x) = \frac{\dd}{\dd x} \left({{{\it r_2}\,\sin \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\,\sin \left( {\it w_1}\,x\right)}\over{{\it r_2}\,\cos \left({\it w_2}\,x\right)+ {\it r_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right)}}\right) ={{{\it r_2}\,{\it w_2}\,\cos \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\, {\it w_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right)}\over{{\it r_2}\,\cos \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right) }}-{{\left({\it r_2}\,\sin \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\, \sin \left({\it w_1}\,x\right)\right)\,\left(-{\it r_2}\,{\it w_2}\, \sin \left({\it w_2}\,x\right)-{\it r_1}\,{\it w_1}\,\sin \left( {\it w_1}\,x\right)\right)}\over{\left({\it r_2}\,\cos \left( {\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right)\right) ^2}} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

11.06.2013, 11:56

alterHund

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$\begin{eqnarray*} \sigma ( t) = \omega_1 t + \arctan \left( \frac{r_2 \sin ( \omega_2 t)}{r_1 + r_2 \cos ( \omega_2 t)} \right) \end{eqnarray*}$

11.06.2013, 12:59

Steffen Bühler

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Bei dieser Formel komme ich ehrlich gesagt nicht mit und kann sie daher auch nicht beurteilen.

Wenn man wiederum meinen Fehler ausmerzt, dass ich den atan (genauer den atan2, aber das schenke ich mir mal) vergessen habe, es also

$\begin{eqnarray*} \sigma(x) = \arctan \left({{{\it r_2}\,\sin \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\,\sin \left( {\it w_1}\,x\right)}\over{{\it r_2}\,\cos \left({\it w_2}\,x\right)+ {\it r_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right)}}\right) \end{eqnarray*}$

heißt, sollte diese (in der Tat vektorielle) Addition von AB und BC in Deinem Bild den richtigen Winkel ergeben.

Die noch fürchterlichere Ableitung ist dann
$\begin{eqnarray*} w(x)=\frac{\dd}{\dd x} \left({{\arctan \left({\it r_2}\,\sin \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1} \,\sin \left({\it w_1}\,x\right)\right)}\over{{\it r_2}\,\cos \left( {\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right)}}\right) ={{{\it r_2}\,{\it w_2}\,\cos \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\, {\it w_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right)}\over{\left({\it r_2}\, \cos \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x \right)\right)\,\left(\left({\it r_2}\,\sin \left({\it w_2}\,x \right)+{\it r_1}\,\sin \left({\it w_1}\,x\right)\right)^2+1\right) }}-{{\left(-{\it r_2}\,{\it w_2}\,\sin \left({\it w_2}\,x\right)- {\it r_1}\,{\it w_1}\,\sin \left({\it w_1}\,x\right)\right)\, \arctan \left({\it r_2}\,\sin \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\, \sin \left({\it w_1}\,x\right)\right)}\over{\left({\it r_2}\,\cos \left({\it w_2}\,x\right)+{\it r_1}\,\cos \left({\it w_1}\,x\right) \right)^2}} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

11.06.2013, 13:35

alterHund

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zu $\begin{eqnarray*} \omega_1 t \end{eqnarray*}$ kommt der Winkel zwischen
AB und AC hinzu; denk Dir mal die Senkrechte auf AB
durch C zur Zeichnung hinzu .

11.06.2013, 13:53

mathemäuschen

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Wirklich vielen, vielen Dank für Eure Antworten!!!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wäre folgende Abschätzung möglich?

$\begin{eqnarray*} \omega(x) < \frac{r_2 \omega_2+r_1 \omega_1}{(r_2+r_1)((r_2+r_1)^{2} +1)} -\frac{(-r_2 \omega_2 - r_1 \omega_1)arctan(r_2+r_1)}{(r_2+r_1)^{2}} \end{eqnarray*}$

11.06.2013, 14:08

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von alterHund
zu $\begin{eqnarray*} \omega_1 t \end{eqnarray*}$ kommt der Winkel zwischen
AB und AC hinzu; denk Dir mal die Senkrechte auf AB
durch C zur Zeichnung hinzu .

Ah, danke, jetzt hab ich's gesehen.

Und sehe auch meinen Denkfehler: w2t wird ja in der Tat auf w1t draufaddiert und läuft nicht unabhängig. Dadurch kann man auch meinen Ansatz leider nicht hernehmen.

Vielen Dank und viele Grüße
Steffen

11.06.2013, 14:15

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von mathemäuschen
Wäre folgende Abschätzung möglich?

Ich fürchte, da hast Du meinen fehlerhaften Ansatz verwendet, oder? Oder wie kommst Du auf diese Formel?

Da ich Verwirrung gestiftet habe, als Entschuldigung hier die Ableitung der von alterHund genannten Funktion. Ich habe sie als Bild angefügt, da unser Ableitungsrechner die nicht hinkriegt.

Viele Grüße
Steffen

11.06.2013, 14:32

mathemäuschen

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Ja, da hast du recht.

Wäre das dann jetzt eine mögliche Abschätzung der neuen (richtigen) Formel?

$\begin{eqnarray*} \omega(x) < \frac{\omega_1+r_2 \frac{\omega_2}{r_1+r_2} +r_2^{2}\frac{1}{r_1+r_2} \omega_2}{1+r_2^2 \frac{1}{(r_1+r_2)}}=-\frac{\omega_1 (r_1+r_2)+ r_2 \omega_2+r_2^2 \omega_2}{(r_1+r_2)+r^2_2} \end{eqnarray*}$

11.06.2013, 14:44

Steffen Bühler

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Hier hast Du w1 in den Zähler gezogen, es steht aber vor dem Bruch. Ansonsten sieht's gut aus.

Viele Grüße
Steffen

11.06.2013, 17:11

alterHund

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wie Du auf die Abschätzung kommst sehe ich nicht, das -Vorzeiche ist seltsam
und
mit den Einheiten stimmt etwas nicht, $\begin{eqnarray*} \frac{Meter}{Sekunde} \end{eqnarray*}$ sollten nicht zu $\begin{eqnarray*} \frac{Meter^2}{Sekunde} \end{eqnarray*}$ addiert werden

12.06.2013, 10:21

mathemäuschen

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Das $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ ist mir hochgerutscht und das - ist auch zuviel.

Hab´s jetzt nochmal richtiggeprüft (dann stimmt es auch mit den Einheiten):

$\begin{eqnarray*} \omega(x)< \omega_1 + \frac{r_2 \omega_2 (r_1+r_2)+r_2^2 \omega_2}{(r_1+r_2)^2+ r_2^2} \end{eqnarray*}$

Tschuldigung nochmal für die Verwirrung.

12.06.2013, 11:00

mathemäuschen

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Also, ich hab mir jetzt grad nochmal die ganze Unterhaltung durchgeschaut und das ist veilleicht eine doofe Frage, aber ich hab nicht ganzverstanden, wie ihr auf $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ kommt.
Der erste Teil der Koordinaten $\begin{eqnarray*} r_1 \cos(\omega_1 t) \end{eqnarray*}$ für die x-Richtung und $\begin{eqnarray*} r_1 \sin(\omega_1 t) \end{eqnarray*}$ für y ist mir klar, aber danach versteh ich nicht, wo der rechte Winkel für die zweiten Teile sein soll.

12.06.2013, 11:07

Steffen Bühler

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Wie alterHund schon schrieb: fälle das Lot vom Punkt C auf die Verlängerung der Strecke AB. Dann ist die Ankathete r1+r2cosw2, die Gegenkathete r2sinw2.

Viele Grüße
Steffen

12.06.2013, 11:54

mathemäuschen

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Ach so, das läuft dann über den Tangens und die Koordinaten von C sind egal.

Danke. Wink

Wink

13.06.2013, 11:48

mathemäuschen

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Ich hab jetzt alles verstanden. Nur noch eine kurze Frage zur Rückversicherung.

Die Ableitung kann ich umformen in

$\begin{eqnarray*} \omega=\omega_1+ \frac{\omega_2 r_2 (r_1 \cos(\omega_2 t)+r_2)}{r_1^2+2r_1r_2\cos(\omega_2 t)+r_2^2} \end{eqnarray*}$

und komme dann durch eine Abschätzung auf

$\begin{eqnarray*} \omega\leq\omega_1+ \frac{\omega_2 r_2}{r_1+r_2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das oder habe ich irgendeinen Fehler drin?

Vielen Dank für Eure Geduld! Freude

Freude

13.06.2013, 13:34

alterHund

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dürfte ok sein, ein Extremum scheint $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ zu haben wenn der cos eins ist

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