Zeigen, dass Determinanten ungleicher Matrizen gleich sind |
| 10.06.2013, 20:35 | JaneDoe91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zeigen, dass Determinanten ungleicher Matrizen gleich sind Hallo! Ich muss zeigen, dass: det(lambda*En - A) = det(lambda*En - S^-1*A*S) wobei K Körper, A quadratische Matrix über K, S invertierbare Matrix und lambda aus K. Meine Ideen: Um zu zeigen, dass die Determinanten gleich sind (und den VL-Stoff zu benutzen...) wollte ich zeigen, dass: C := (lambda*En - A), D := (lambda*En - S^-1*A*S) C und D sind ähnliche Matrizen (daraus folgt, dass ihre det gleich ist), also, dass S^-1*C*S = D oder äquivalent, dass S*D=C*S. Ich weiß aber nicht wie ich es zeigen soll. Die Form "lambda*En - A" erinnert mich aber an (i) EW, dass auch mit der ähnlichen Matrizen "zusammenhängen" (Ähnliche Matrizen haben dieselben EW und Det.) und an (ii) "lambda*En - A ist invertierbar <--> det(lambda*En - A) ungleich 0". |
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| 10.06.2013, 20:39 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, das einzige was du noch brauchst ist eine der grundlegenden Eigenschsften der Determinante: die Multiplikativität, sprich det(AB)=det(A)det(B) |
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| 10.06.2013, 20:41 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sofern du für quadratische Matrizen gleicher Ordnung benutzen darfst, ist es ja eigentlich ein Einzeiler. EDIT: Cäpt'n Kirk hat schon immer schneller geschossen, so auch hier. 
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| 10.06.2013, 20:50 | JaneDoe91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Die Eigenschaft hilft mir nicht, weil ich ein "minus" da habe (lambda*En - A), also kann ich die nicht "trennen"... wie soll ich denn machen? Wie bringe ich alles zusammen, also "ähnliche Matrizen haben dieselben EW", "invertierbar <--> det ungleich 0", usw? Cheers Leute
EDIT: HAL 9000 "That´s what she said" 
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| 10.06.2013, 20:57 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach, und du denkst, Captain Kirk und ich haben im selben Moment die gleiche Idee, dich zu verarschen? 
Die Aussage hilft sehr wohl: Vorher aber mal nachdenken, warum gilt. |
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| 10.06.2013, 21:04 | JaneDoe91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne, das hab ich nicht gemeint! impliziert war, dass ich zu blöd bin, um das zu verstehen 
Also lambda * En = S^-1 * lambda*En * S gilt, weil S^-1 * S = En, also En * lambda * En = lambda * En (nur aber dann, wenn die Matrizen kommutieren, oder?). |
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| 10.06.2013, 21:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ja wohl der Fall ist, wenn einer der beiden Faktoren die Einheitsmatrix ist.
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| 10.06.2013, 21:30 | JaneDoe91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lass dich bitte nicht irritieren, aber ich kann trotzdem die Aufgabe nicht lösen. Jetzt hab ich: z.z. det(lambda*En - A) = det(lambda*En - S^-1*A*S). Ich nenne die erste Klammer "C" und die zweite "D" Ich will zeigen, dass C und D ähnliche Matrizen sind, also z.z. S^-1*C*S = D muss ich das "lambda*En = S^-1 * lambda * En * S" in C und D einsetzen? Wenn ja, dann habe ich: S^-1 * (S^-1 * lambda * En * S) * S = (S^-1 * lambda * En * S - S^-1 * A * S), also noch das A und Minus Wie bringe ich alles zusammen? Muss ich mein A := En definieren? Danke schön, momentan kann ich es wirklich nicht verstehen... |
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| 12.06.2013, 14:02 | BieneMaja | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst nicht direkt zeigen, dass gilt, sondern es reicht, wie du erwähnt hast, direkt die Behauptung zu zeigen. Dazu setzt du in klammerst ein bisschen aus und benutzt die Multiplikativität der Determinante Übrigens: Mach dich doch mal mit dem Formeleditor vertraut, der ist kinderleicht zu bedienen, danmit wird dein Beitrag dann auch lesbar Gruß Biene 
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