Bogenlänge einer Kurve bestimmen

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10.06.2013, 21:26	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge einer Kurve bestimmen Hab eine Altklausuraufgabe und weiß auch hier nicht mehr weiter. Sie lautet: Berechnen Sie die Bogenlänge der gesamten Kurve $\begin{eqnarray} x^2+y^2=a^2 \end{eqnarray}$ hab keine Ahnung wie ich da ran gehen soll. Danke im Voraus.
10.06.2013, 21:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt dir diese Formel nichts? Gar nichts?
10.06.2013, 21:34	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut. Die sieht aus wie der Satz des Pythagoras.
10.06.2013, 21:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Immerhin. Jetzt zeichne dir ein $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Koordinatensystem. Dann zeichnest du dir einen Punkt mit den Koordinaten $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ ein. Welche Strecke $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ im Koordinatensystem wird dann mit dem Satz des Pythagoras $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = a^2 \end{eqnarray}$ berechnet?
10.06.2013, 21:50	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe mir ein Koordinatensystem gezeichnet und den P(3/2) gewählt damit wäre $\begin{eqnarray} 3^2+2^2=a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 13=a^2 \end{eqnarray}$ ist a nicht die Steigung?
10.06.2013, 21:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine Streckenlänge, also positiv ist, dann ist in deinem Beispiel $\begin{eqnarray} a = \sqrt{13} \end{eqnarray}$ . Das ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck. Hast du dieses rechtwinklige Dreieck eingezeichnet? Welche Bedeutung hat die Hypotenuse $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ für den Punkt $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ ? Um auch deine Frage zu beantworten: $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist nicht die Steigung, die wäre $\begin{eqnarray} \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ .
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10.06.2013, 22:02	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, steh total auf dem Schlauch. Ich hab den Punkt P(3/2) eingezeichnet. Meine Hypothenuse ist $\begin{eqnarray} a=\sqrt{13} \end{eqnarray}$ . Dann wären doch meine anderen Punkte A(0/3) und B(2/0). Wäre dann a dann die Bogenlänge? Aber das wäre ja dann eine Gerade und nicht eine Kurve?
10.06.2013, 22:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koordinaten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ passen nicht zu denen von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Hast du da etwas verdreht? Im übrigen ist die entscheidende Strecke hier die Hypotenuse, die wir immer noch nicht eingezeichnet haben. Die Hypotenuse liegt in einem rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüber. Zeichne einmal die Strecke vom Ursprung nach $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ein. Siehst du jetzt $\begin{eqnarray} a = \sqrt{13} \end{eqnarray}$ ? Notfalls nachmessen!
10.06.2013, 22:10	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte am vorhin x und y vertauscht Die Strecke vom Ursprung zu P ist mein $\begin{eqnarray} a=\sqrt{13} \end{eqnarray}$
10.06.2013, 22:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie könnte man die Länge einer Strecke, die von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zum Ursprung geht, noch nennen?
10.06.2013, 22:25	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung. Vielleicht Ursprungsgerade?
10.06.2013, 22:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die Länge der Strecke $\begin{eqnarray} OP \end{eqnarray}$ ist dasselbe wie der "Abstand von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ ". Du hast also bei deinem $\begin{eqnarray} P=(x,y) \end{eqnarray}$ einen Punkt gefunden, dessen Abstand zum Ursprung $\begin{eqnarray} a = \sqrt{13} \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 13 \end{eqnarray}$ Kannst du noch einen anderen Punkt angeben, für den genau diese Gleichung gilt?
10.06.2013, 22:34	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut, wenn ich die Koordinaten vertausche. P(2/3)
10.06.2013, 22:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beispiel. Du könntest aber auch noch die Vorzeichen ändern. Denn für die Streckenlängen hat das beim Pythagoras keine Auswirkungen. Aber wie wäre es mit etwas ganz anderem? $\begin{eqnarray} (x,y) = \left( 1 , \sqrt{12} \right) \end{eqnarray}$ Auch hierfür gilt: $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 1^2 + \left( \sqrt{12} \right)^2 = 13 \end{eqnarray}$ Was muß also auch für diesen Punkt hinsichtlich seines Abstands zum Ursprung gelten?
10.06.2013, 22:44	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch er muss $\begin{eqnarray} \sqrt{13} \end{eqnarray}$ sein.
10.06.2013, 22:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben. Was muß also für alle Punkte $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ gelten, die die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 13 \end{eqnarray}$ erfüllen, von den wir uns erst ein paar angeschaut haben?
10.06.2013, 22:52	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm sie müssen alle auf dem Kreis liegen der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat und den Radius r= $\begin{eqnarray} \sqrt{13} \end{eqnarray}$ hat.
10.06.2013, 22:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Nur hätte ich jetzt $\begin{eqnarray} a=\sqrt{13} \end{eqnarray}$ gesagt. Welche Punkte $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ erfüllen also die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 18 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 25 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 99 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = a^2 \end{eqnarray}$
10.06.2013, 22:58	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Punkte in R?
10.06.2013, 23:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ alle Zahlen durchlaufen läßt, dann wären das in der Tat alle Punkte der Zeichenebene. Du hast aber ein bestimmtes $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ vorgegeben (so ist das gemeint, wenn man von $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = a^2 \end{eqnarray}$ spricht). Und so waren meine vier Gleichungen gerade eben gemeint. Immer ein neues $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Aber wenn du das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nun festhältst, was stellt dann $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = a^2 \end{eqnarray}$ geometrisch dar? (Für $\begin{eqnarray} a = \sqrt{13} \end{eqnarray}$ hast du die Frage bereits beantwortet.)
10.06.2013, 23:04	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das dann die Kreisgleichung?
10.06.2013, 23:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine schwere Geburt. Aber jetzt ist's überstanden.
10.06.2013, 23:09	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt. :-) Danke. Aber ich hab dann immer noch nicht verstanden wie lang die Bogenlänge ist.
10.06.2013, 23:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bogenlänge einer Kurve ist das, was man landläufig als Länge der Kurve bezeichnen würde. Die Bogenlänge eines Kreises ist daher nichts anderes als der Kreisumfang. Du sollst also in dieser Aufgabe den Umfang eines Kreises bestimmen. Wie du das machen sollst, kann ich dir nicht sagen, weil ich nicht weiß, welche Kenntnisse dir zur Verfügung stehen. Sollst du einfach nur die aus der Schule bekannte Formel $\begin{eqnarray} u = 2 \pi a \end{eqnarray}$ hinschreiben? Oder sollst du diese Formel über die Parameterdarstellung eines Kreises mit der Integralrechnung bestimmen? Oder ...?
10.06.2013, 23:15	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit sind die Formel aus der Schule und die Integralformel bekannt. Aber in der Klausuraufgabe steht nix genaueres, welche angewendet werden soll.
10.06.2013, 23:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Um was für eine Klausur geht es dann da? Auf welcher Schule, Hochschule, Universität bist du? Welche Ausbildung machst du gerade?
10.06.2013, 23:19	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht in der Klausur um Integralrechnung, Extremwertaufgaben. Bin im 2.Semester auf einer FH. Ich danke dir für deine Hilfe. Werde mal ins Bett gehen. Mach mir nochmal Gedanken und schreib dann wieder.

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