Streuung bei der Binomialverteilung

11.06.2013, 16:33

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

Streuung bei der Binomialverteilung

Meine Frage:
Also ich muss für ne GFS in Mathe folgende Aufgaben vorrechnen und hab echt nicht sonderlich viel Ahnung davon, da wir mit dem Thema noch nicht angefangen haben und ich nun versuchen muss, mir das selber beizubringen.. Also wäre echt super nett wenn mir jemand helfen kann smile

smile

Augabe 1)
Berechne die wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Wert im Intervall [µ - Sigma (Wie geht das Zeichen dazu ?!); µ + Sigma] liegt, bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen X mit den Parametern p=0,5 und n=125

Aufgabe 2)
Bei einem Multiple-Choice-Test mit zwanzig Fragen sind jeweils drei Antworten gegeben, von denen nur eine richtig ist. Florian hat zehn Antworten richtig.
X sei die Anzahl der richtigen Antworten. Gib für k=1;2;3 jeweils das k*Sigma-Intervall an, in dem die Zahl 10 liegt bzw. nicht liegt.
(Diskutiere damit, wie wahrscheinlich es ist, dass Florian nur rät.)

Meine Ideen:
Aufgabe 1)
Ich hab hier ne Formel für sigma: ?= ?n*p*(1-p)
(Wurzel aus n mal p mal Klammer auf 1 minus p klammer zu, falls die Formel nicht funktioniert^^)
Und da würde ich einfach n und p einsetzten und folgendes Ergenbnis erhalten:
?Sigma= 5,5902
Ist das jetzt schon das fertige Ergebnis oder muss man noch was ausrechnen oder angeben ?

Aufgabe 2)
Da hab ich echt absolut keinen blassen Schimmer wie das gehen soll!
Braucht man dazu die Sigma-Regeln, und wenn ja, welche und wie benutzt man die ?
Ich hätte jetzt nur so angefangen..
(Im GTR: binompdf(10,1,1/3)) P(X=1)= Da kommt Error raus ?!
Also wie gesagt hier hab ich absolut keine Idee..

Tut mir leid, dass Sigma nicht angezeigt wird, wie geht das denn ?
Ich habs nämlich kopiert, da wirds nicht angezeigt^^

11.06.2013, 17:24

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

unten gibt es den Vorschau-Knopf, da kannst du dann vor dem Abschicken nachkontrollieren.

$\begin{eqnarray*} p(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma ) \end{eqnarray*}$ ist gesucht.

nun $\begin{eqnarray*} \mu=0.5\cdot 125. \qquad \sigma \end{eqnarray*}$ ist ja schon berechnet.

jetzt kannst du die Grenzen für X berechnen.

Du suchst den mittleren Teil.

Wenn dein GTR kummuliert brauchst du nur die Grenzen einzugeben:

$\begin{eqnarray*} binomcdf(125,0.5,58,68) \end{eqnarray*}$

falls das die richtige Syntax ist. 58 und 68 sind hier nur grob geschätzt

----------------------

so in LATEX:

code:
1:	[latex]p(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma )[/latex]

11.06.2013, 20:24

lenny921

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Anmerkung zur Frage a)

Eigentlich müsste eine Wahrscheinlichkeit von ca. 68% rauskommen, da ja ca. 68 % aller Werte im Bereich 1 * Sigma um den Erwartungswert liegen sollten

zu 2)

n=20
E(x) = n*p = 20*1/3 = 6,6
Sigma = n*p*(1-p) = 20*1/3*2/3= 4,4

Das bedeutet, dass bei diesem Test im Mittel 6,6 Fragen durch reines Raten richtig beantwortet werden.

Für k=1, also einfache Standardabweichung, beträgt das Intervall 6,6 +- 4,4, also geht es von 2,2 bis 11

ca. 68 % aller nur geratenen Ergebnisse liegen in diesem Bereich. Damit ist es noch ziemlich wahrscheinlich, dass der Junge nur geraten hat.

Um zu berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man 10 oder mehr Fragen richtig erraten kann, würde ich den kumulierten Binominalkoeffizinet berechnen

Summe k=10 bis 20 von (20 über 10)*(1/3)^10*(2/3)^10 falls dein TR das kann, ansonsten 1- B(20,p,k) aus Tabelle

Korrigiert mich, falls ich Unsinn geschrieben habe

11.06.2013, 21:09

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lenny921
Kleine Anmerkung zur Frage a)

Eigentlich müsste eine Wahrscheinlichkeit von ca. 68% rauskommen, da ja ca. 68 % aller Werte im Bereich 1 * Sigma um den Erwartungswert liegen sollten

ja, das ist soweit richtig, w.g. Normalverteilung, aber hier soll exakt gerechnet werden.

Zitat:

zu 2)
n=20
E(x) = n*p = 20*1/3 = 6,6
Sigma = n*p*(1-p) = 20*1/3*2/3= 4,4

Das bedeutet, dass bei diesem Test im Mittel 6,6 Fragen durch reines Raten richtig beantwortet werden.

Für k=1, also einfache Standardabweichung, beträgt das Intervall 6,6 +- 4,4, also geht es von 2,2 bis 11

hier stimmt was nicht: 4.4 is die Varianz, also $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ Ergo: $\begin{eqnarray*} \sigma =2.11 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Summe k=10 bis 20 von (20 über 10)*(1/3)^10*(2/3)^10 falls dein TR das kann, ansonsten 1- B(20,p,k) aus Tabelle

???

du meinst hoffentlich $\begin{eqnarray*} p(X\geq 10) =\sum_{k=10}^{20}\binom {20}{k} (\tfrac 13)^k\ \cdot (\tfrac 23)^{20-k} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Korrigiert mich, falls ich Unsinn geschrieben habe

da haben wir schon Schlimmeres lesen müssen Big Laugh

Big Laugh

11.06.2013, 21:14

lenny921

Auf diesen Beitrag antworten »

ja sorry, hatte vergessen, die Wurzel zu ziehen unglücklich

unglücklich

Und ich meinte diese Summe, die Du da in Latex geschrieben hast, mit diesem Latex Editor muss ich mich noch anfreunden ^^

11.06.2013, 23:51

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} p(X\geq 10) =\sum_{k=10}^{20}\binom {20}{k} (\tfrac 13)^k \cdot (\tfrac 23)^{20-k} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]p(X\geq 10) =\sum_{k=10}^{20}\binom {20}{k} (\tfrac 13)^k \cdot (\tfrac 23)^{20-k}[/latex]

da siehst das Grundprinzip:

1.) jeder reservierter Name beginnt mit \ =Metasymbol

2.) die {} Klammern fassen das zusammen was unsichtbar zusammengehört = Metasymbol

werden {} die nicht gesetzt, dann gilt automatisch das nächste Zeichen.

also \frac 23 wird als \frac {2}{3} interpretiert.

Und wie schreibt man Metasymbole ?
ein \ ist wird zum \backslash
ein { ist wird zum \{

und warum ist der \ nicht gleich \\ ? nun, das Symbol wird als Zeilentrenner verwendet,

Anzeige

14.06.2013, 23:11

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} p(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma ) \end{eqnarray*}$ ist gesucht.

nun $\begin{eqnarray*} \mu=0.5\cdot 125. \qquad \sigma \end{eqnarray*}$ ist ja schon berechnet.

jetzt kannst du die Grenzen für X berechnen.

Wenn dein GTR kummuliert brauchst du nur die Grenzen einzugeben:

$\begin{eqnarray*} binomcdf(125,0.5,58,68) \end{eqnarray*}$

falls das die richtige Syntax ist. 58 und 68 sind hier nur grob geschätzt
[quote]

Ok, wie man auf µ kommt weiß ich, aber was ist Sigma ?
Und wie kommt man dadrauf ?

Und wie berechnet man die grenzen für X ?

15.06.2013, 02:14

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

1.) hast du selbst schon geschrieben $\begin{eqnarray*} \mu =n\cdot p =125\cdot 0.5 =62.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)}= \sqrt{125\cdot 0.5 \cdot 0.5}=5.59 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=62.5-5.59=56.91=57<br /> x_2=62.5+5.59=68.09=68 \end{eqnarray*}$

Leider kummuliert binomcdf nicht zwischen 2 Grenzen sondern immer von Null bis zu einer Grenze ( einschließlich !)

Intervalle musst du deshalb splitten:

$\begin{eqnarray*} p(57 \leq X \leq 68)= \underbrace{ p(X\leq 68)}_{\rm binomcdf(125,0.5,68)} - p(X\leq 5{\color{red}6}) \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 12:27

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank Dopap!

Aber bei der zweiten Aufgabe hakts immer noch en bisschen..
Hab da jetzt mal so weitergemacht:

n= 20
p= 1/3
µ = 6,667
Sigma = 2,11

Dann hab ich diese Intervalle mit den Sigma-Regeln oder so gemacht:

Also bei k=1 das hier im Formeleditor:

$\begin{eqnarray*} p(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma ) \end{eqnarray*}$

Das hab ich ausgerechnet und komme auf

p(X Kleiner/gleich 8,77) - p(X kleiner/gleich 4) = 0,658
was ja dem 1-Sigma-Intervall entspricht.

Das gleiche hab ich für Sigma 2 und 3 gemacht und komme da auch als Ergebnis auf die Zahlen von 0,954 bzw. 0,996 was ja auch wieder in diesem Sigma Ding entspricht.

Dann hab ich noch als Antwort der kompletten Aufageb geschrieben, dass die Zahl 10 in Sigma 2 und 3 Umgebung liegt. Da bei Sigma 1 die WS 70% beträgt, kann man davon ausgehen, dass er zu 30% nur rät um das Ergebnis zu bekommen. Stimmt das so ?

15.06.2013, 13:24

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Johanna8

p(X Kleiner/gleich 8,77) - p(X kleiner/gleich 4) = 0,658
was ja dem 1-Sigma-Intervall entspricht.

das ist allgemein bekannt. Hier fehlt die Antwort ob 10 Treffer im Intervall liegen.
Das tun sie nicht.

Bei $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 3\sigma \end{eqnarray*}$ ist das der Fall, wie du berechnet hast.
Trotzdem sagt mir das meiner Meinung nach gar nichts, und dient nicht zur Beantwortung der Frage.
Warum ?
Es geht doch darum, ob er, und wenn ja , mit welcher Wkt er nur rät.
Dazu brauche ich die obere Wkt, dass ein Ergebnis von 10 oder mehr Treffern zufällig ist.

also $\begin{eqnarray*} p(X\geq 10)=... \end{eqnarray*}$

und je nach Ergebnis kann ich dann entscheiden ob ich an Zufall glaube oder nicht.
Oder vorher eine Grenze ( $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ ) ziehe und dann vergleiche.
Zusatz: Ab welchem $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ würdest du dem Probanden zugestehen, dass er den Stoff beherrscht ?

--------------------------

Woher stammt die Aufgabe ?

15.06.2013, 18:34

lenny921

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe auch noch eine Frage zu dazu, die mir schon seit längerem nicht aus dem Kopf geht:

Wie hängt das alles zusammen mit der Ungleichung von Tschebyscheff?

Laut dieser Ungleichung ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Wert (also hier z.B. die 10 richtigen Antworten) in oder außerhalb eines Bereiches liegt

P(|x-E(x)|) < c >= 1 - Sigma^2/c^2

bzw.

P(|x-E(x)|) > c <= Sigma^2/c^2

Ich habe diese Ungleichungen mal mit dem 1 Sigma Bereich verglichen.

Wenn die Grenzen von c genau Sigma entsprächen (also Fall c=Sigma), dann müsste die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert dort drin liegt:

P(|x-E(x)|) < c >= 1 - Sigma^2/c^2 >=1- 1 sein, was keinen Sinn ergibt.

Wenn c genau 2*Sigma wäre, dann wäre die Ungleichung

P(|x-E(x)|) < c >= 1 - Sigma^2/2*Sigma^2 >=1-(4,44/(2*2,11)^2=1-(4,44/17,8)=1-0,25=0,75 bzw. 75 % was vollkommen falsch ist.

Für den 2 Sigma Bereich müsste ja was von ca. 95% rauskommen.

Wo liegt mein Denkfehler, bzw. was kann Tschebscheff leisten oder in welchen Fällen wendet man das an?

15.06.2013, 18:40

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von Johanna8

p(X Kleiner/gleich 8,77) - p(X kleiner/gleich 4) = 0,658
was ja dem 1-Sigma-Intervall entspricht.

das ist allgemein bekannt. Hier fehlt die Antwort ob 10 Treffer im Intervall liegen.
Das tun sie nicht.

Bei $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 3\sigma \end{eqnarray*}$ ist das der Fall, wie du berechnet hast.
Trotzdem sagt mir das meiner Meinung nach gar nichts, und dient nicht zur Beantwortung der Frage.
Warum ?
Es geht doch darum, ob er, und wenn ja , mit welcher Wkt er nur rät.
Dazu brauche ich die obere Wkt, dass ein Ergebnis von 10 oder mehr Treffern zufällig ist.

also $\begin{eqnarray*} p(X\geq 10)=... \end{eqnarray*}$

und je nach Ergebnis kann ich dann entscheiden ob ich an Zufall glaube oder nicht.
Oder vorher eine Grenze ( $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ ) ziehe und dann vergleiche.
Zusatz: Ab welchem $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ würdest du dem Probanden zugestehen, dass er den Stoff beherrscht ?

--------------------------

Woher stammt die Aufgabe ?

Okay, also ehrlich gesagt verwirrt mich ALLES was da jetzt steht..

Die Aufgabe ist aus meinem Mathebuch (Lambacher Schweize, Klasse 10)

Ich hab jetzt auch Lösungen dazu bekommen, und da steht das so in etwa drin wie ich es gerechnet hab..
Wie würde das denn dann deiner Meinung nach weitergerechnet werden ? (Wenn man es mit diesem grenzen ziehen und so machen würde ?)

15.06.2013, 18:50

lenny921

Auf diesen Beitrag antworten »

@Johanna
Dopap meint, den kumulierten Binominalkoeffizient ausrechnen, für die Wahrscheinlichkeit von mindestens 10 richtigen Antworten.

das ist aussagekräftiger als zu schauen, in welchen k* Sigma Bereichen die 10 richtigen Antworten liegen.

15.06.2013, 18:54

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

@lenny921

Da ich davon noch nie was gehört hab, hoff ich einfach mal des passt so wies jetzt ist..
Aber danke! (:

15.06.2013, 19:11

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja so meinte ich das.

Die Aufgabe ist nichtssagend wegen der Zahlenwerte gestellt.

Wenn die Trefferzahl 10 innerhalb eines Intervalles liegt sagt das nicht viel. Nur, wenn die Trefferzahl hartnäckig auserhalb liegen würde, könnte man Schlüsse ziehen.

Läge Sie z.b. ausserhalb von der 3 $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Grenze gibt es 2 Fälle:
1.) Oberhalb der $\begin{eqnarray*} 3 \sigma \end{eqnarray*}$ Grenze ---> der Probant kennt seinen Stoff.

2.) Unterhalb der $\begin{eqnarray*} 3\sigma \end{eqnarray*}$ Grenze ----> der Probant kennt seinen Stoff, möchte aber eine möglichst schlechte Note erzielen.

-------------------------------------------------------------------

nun zu $\begin{eqnarray*} p(X\geq 10) =\sum_{k=10}^{20}\binom {20}{k} (\tfrac 13)^k \cdot (\tfrac 23)^{20-k} =9.2% \end{eqnarray*}$ wie schaut das mit binomcdf aus?
Für jemanden der blind rät, wäre das Ergebnis mit 9.2% Wkt. zufällig.

Und nun, welche Aussage möchtest du jetzt treffen verwirrt

verwirrt

-----------------------------------------------------

Bem: auch im Buch von Lambacher Schweizer muss nicht alles das Gelbe vom Ei sein.

edit: wir sind noch nicht fertig ! du könntest ja in der GFS nachweisen, dass die Aufgabe aus obigen Gründen nicht besonders toll ist !! Das wäre sehr überzeugend !

edit2: leider wieder offline, mal sehen...

15.06.2013, 20:56

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm.. ja gut, ich versteh schon, dass die Aufgabe irgendwie nicht so richtig gelöst ist mit dem, was ich bisher so gerechnet hab.
Aber ich soll die Aufgaben ja eeigentlich sowieso alleine machen und mein Lehrer wird so schon merken, dass ich extreme Hilfe hatte, und wenn ich dann noch ankomm und sag, das was in den Lösungen und im Buch steht, sei falsch, ich weiß ja nicht, was er dann dazu sagt..

Und was genau heißt Wkt. ? (Wahrscheinlichkeits.. ?)

Aber wenn man das jetzt so weitermachen würde, wie sie gesagt haben, wie würde das denn dann funktionieren ?

15.06.2013, 22:20

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar ! Ja Wkt. heisst Wahrsvheinlichkeit

1.) Du stellst fest, dass $\begin{eqnarray*} T_{10}= 10 \end{eqnarray*}$ Treffer auserhalb von $\begin{eqnarray*} \mu \pm \sigma \end{eqnarray*}$ liegt.

Das tun viele Werte ( ca. 30 % ) , hier ist nichts zu entdecken.

2.) du stellst fest , dass $\begin{eqnarray*} T_{10} \end{eqnarray*}$ innerhalb von $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ und innerhalb von $\begin{eqnarray*} 3\sigma \end{eqnarray*}$ liegt.

das ist aber der Normalfall, also wiederum nix besonderes.

----> Aufgrund dieser Sachlage kann nichts ( statistisch signifikantes ) über den Kandidaten ausgesagt werden:

Er kann ein ganz normaler Kandidat sein, er könnte aber auch geraten haben .

Beides lässt sich nicht belegen. Das ist der Kern der Intervallfrage.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Fragt man aber, mit welcher Wkt dieses Ergebnis reiner Zufall sein könnte , berechnet

man wie oben erwähnt diese Wkt zu 9.2%

Das reicht aber auch nicht aus um zufällige Antworten zu widerlegen.

Erst bei 5% ( das ist so eine Standardwkt in Stochastik ) käme man ins Grübeln.

Je nach dem welche Auswirkungen eine Beschuldigung haben könnte verwendet man auch 1%
oder gar 0.1%
Ein medizinisches Präparat muss seine Wirksamkeit schon signifikannt nachweisen und noch signifikannter seine Unbedenklichkeit.
Oder vor Gericht: eine Verurteilung mit 5% Unsicherheit wäre unangemessen.

-----> du sensibilisierst die Zuhörer für das angesprochene Problem.
Das wäre die wahre Quintesenz der Aufgabe !

15.06.2013, 22:34

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

Oke, danke auf jeden Fall dafür!

Aber ich denke dann doch, dass ich es bei der ungenauen Lösung lasse, da ich da NIEMALS von allein draufgekommen wäre und ich jetzt einfach mal behaupte, dass das kein 10.Klasse-Niveau ist (Was aber auch daran liegen kann dass ich in Mathe einfach schecht bin^^)

Naja, ich schau mir das nochmal an und entscheid dann inwieweit und ob ich das aufnehm.
Aber wie gesagt, danke für die anderen Aufgaben, dabei haben sie mir sehr geholfen !

15.06.2013, 22:45

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

o.k.

mach das so, aber du hast ja die - meine - Argumentationshilfe für die Intervalle.
Also weit entfernt von deiner ersten Vermutung in der Eingangspost.

Und zur Not bist du auch für Nachfragen gewappnet. P=9.2%

Somit kannst du es ganz easy angehen lassen smile

smile

Viel Erfolg !

15.06.2013, 22:53

Johanna8

Auf diesen Beitrag antworten »

Also vielen Dank nochmal ! smile

smile

16.06.2013, 00:26

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

immer für dich da ! Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »