Lage Ebene-Ebene Parameterform

11.06.2013, 18:22

gucksi

Lage Ebene-Ebene Parameterform

Hallo

ich soll die Lage zweier Ebenen bestimmen.

$\begin{eqnarray*} E_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}*(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich will das anhand des Skalarproduktes ermitteln:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Es kommt beim Skalarprodukt keine Null raus.

Angenommen es würde eine Null rauskommen, wüsste ich dass eine Parallelität vorhanden ist.

Meine Frage: Wenn ich dann anhand des Skalarproduktes ermittelt habe, dass die Ebenen parallel sind, wie muss ich dann weiter rechnen, wenn ich ermitteln will ob die Ebenen echt parallel oder identsich sind?

Danke für eure Hilfe

11.06.2013, 18:29

Dopap

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ich würde den Stütz-Punkt von E2 in E1 einsetzen.

11.06.2013, 19:06

gucksi

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Danke Dopap.

Vorm Einsetzen nochmal nachgefragt:

Der Stützpunkt von E1 ist doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Stützpunkt von E2 müsste doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein..Ist das richtig?

11.06.2013, 19:27

Dopap

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sicher richtig !

Stützvektor , Stützpunkt verwendet man eigentlich nur für die Parameterform.
Die andere Ebenenform nenne ich immer:

Skalarprodukt Normalenform mir Anfangspunkt.

Ob Anfangspunkt oder Stütz-Punkt ist eigentlich nicht von Bedeutung.

In beiden Fällen ist es schlicht ein ( bekannter ) Punkt der Ebene. smile

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Einsetzten ist aber nur sinnvoll, wenn die Ebenen parallel sind, um zu entscheiden ob sie echt parallel oder identisch sind.

11.06.2013, 21:00

gucksi

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GANZ WICHITG!! IN DIESEM FALL SIND DIE EBENEN NICHT PARALLEL!! Ich möchte nur mal den Rechenweg sehen, wenn Ebene in NF und Ebene in Parameterf. gegeben ist.

Also wir nehmen an, dass es sich um zwei parallele Ebenen handelt.

Stützpunkt von E2 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in E1

$\begin{eqnarray*} E_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}*(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}) = 0 \end{eqnarray*}$

Das heisst also $\begin{eqnarray*} E_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Aber jetzt stehe ich doch wieder an der gleichen Stelle wie vorher verwirrt

Angenommen hier wäre jetzt das Ergebnis 0 (also es besteht eine Parallelität), wie gehts jetzt aber weiter, damit ich weiss ob echt parallel oder identisch????

11.06.2013, 21:14

Dopap

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ganz einfach: wenn sie echt parallel wären, dann würde die Punktprobe fehlschlagen.
Wenn nicht, dann sind die Ebenen identisch.

Wenn du das in nichtparallele Ebenen einsetzt, dann besagt das Ergebnis so gut wie nichts.

11.06.2013, 21:29

opi

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Wenn man die letzte Aufgabe auf die Frage "Liegt Punkt(1|2|1) in E1?" reduziert, bedeutet die Ungleichung: Der Punkt liegt nicht in der Ebene. Mit Parallelität hat dies nichts zu tun.

Zitat:

Angenommen hier wäre jetzt das Ergebnis 0 (also es besteht eine Parallelität)

Wenn das Ergebnis 0 wäre, würde der Vektor zwischen Stützvektor der Ebene und Ortsvektor des überprüften Punktes senkrecht zum Normalenvektor stehen: Der Punkt läge in der Ebene.

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