Algebrahomomorphismus

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MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »
Algebrahomomorphismus
Hallo Leute,

habe hier eine "kurze" Aufgabe von der ich ein wenig verwirrt bin.

Aufgabe:

Seien und zwei K-Algebren und sei eine lineare Abbildung so, dass und für ein EZS von gilt

Zeigen Sie, dass ein Algebrahomomorphismus ist.

Ansatz:

Für eine Algebrahomomorphismus muss gelten:

I) f ist linear

II)

III)

So und meiner Meinung nach stehen alle 3 Bedingungen schon in der Definition oder nicht?

I) f ist laut Def linear

II) Es gilt laut Def

III) Da EZS ist kann ich damit alle als Linearkombination von darstellen.
Und da gilt: gilt auch

Aus I), II) und III) folgt f ist ein Algebrahomomorphismus

Habe ich irgendwo einen ganz bösen Denkfehler gemacht oder ist die Aufgabe wirklich so einfach?

LG,
MCM
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

III) sehe ich nicht unmittelbar ein. Würdest du das bitte nicht nur behaupten, sondern beweisen ?
 
 
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm der Beweis davon scheint wirklich nicht so einfach zu sein, wie ich dachte.

Bisher habe ich folgendes:

Sei und

dann kann ich als Linearkombination meines EZS darstellen.

Also habe ich:



Hier weiß ich leider schon nicht weiter. Ich bin mir eigentlich sicher ich muss die Eigenschaft der Linearität benutzen und das

Am Ende müsste irgendwann ja vorkommen:



Nur auf die Zwischenschritte komme ich leider nicht =/

MCM
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung f ist doch linear, also . Erst mal das Produkt im Argument von f ausmultiplizieren, dann die Linearität von f benutzen, dann die Multiplikativität von f für die Erzeugenden und am Schluss alles wieder zusammenfügen.
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Summe im Argument von f steht doch in nem Produkt.
Wo soll ich denn da etwas auseinander ziehen. unglücklich
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mich falsch ausgedrückt. Ich meinte, du sollst das Produkt ausmultiplizieren. Habe das oben verbessert.
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke.
Das hilft mir schon einmal weiter.

Ich habe das Ganze jetzt erstmal als Summen geschrieben und versucht die zu multiplizieren. Aber iwie glaube ich, dass ich da etwas falsch gemacht habe.



Wie gesagt. Ich bin mir sicher, dass stimmt irgendwie nicht. Leider weiß ich nicht mehr wirklich, wie man Summen mit Summenzeichen multipliziert. Kann das sein, dass ich noch nen 2. Indize brauche?

Danke für deine Geduld, habe gerade irgendwie ein Brett vorm Kopf^^

MCM
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt insofern nicht, als dass die Summen über verschiedende Indizes laufen müssen, beispielsweise i und k.

Aufgrund der Linearität kannst du dann die Funktion der Summe als Summe von Funktionswerten schreiben.
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke, dann sieht mein Beweis jetzt so aus:



Stimmt das so?

MCM
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt jetzt zwar, du hast aber an mehreren Stellen Schritte übersprungen, die ich noch reinbringen würde. Es wurde von f nur gefordert ohne Koeffizienten für die Erzeugenden. Das würde ich von der Linearität von f trennen, denn folgt aus der Linearität. Meine Lösung würde folgendermaßen aussehen:

MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke für den Hinweis!

Habe jetzt Alles Verstanden!

LG,
MCM
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man findet diese Art Aufgabe ja häufig.

Irgendwas gilt auf Erzeugern und man will zeigen, dass es dann schon auf dem ganzen Raum gilt.

Dafür gibt es eine Standardmethode, die sich das "Prinzip der guten Mengen" nennt und die einem solch lästige Rechnungen mit Doppelsummen etc. erspart.

Man definiert sich einfach die Menge aller Elemente, die "gut" sind und zeigt, dass diese Menge ein Ring/Vektorraum/Körper (was auch immer wir gerade haben) bildet. Da per Vorraussetzung immer die Erzeuger "gut" sind, muss diese Menge also schon alles enthalten.

Konkret geht das hier so:

Zu festem definiere die Menge .

Man zeigt leicht, dass ein Vektorraum ist.

Ist nun ein beliebiger von deinen Erzeugern, so liegen nach Vorraussetzung alle anderen Erzeuger in .

Foglich gilt . Das gilt aber für alle Erzeuger.

Das bedeutet: ist beliebig, so enthält alle Erzeuger (denn ).

Folglich ist , d.h. gilt für jedes (und jedes a, da dies beliebig gewählt war), womit wir fertig sind.

Sieht jetzt auf den ersten Blick komplizierte aus (Das ist auch zufällig ein Beispiel wo man das Prinzip zwei mal hintereinander anwenden muss), aber wenn man das einmal gemacht hat, lohnt es sich wirklich.
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Wow diese Methode sieht sehr interessant aus.

Ich werde mir das die Tage mal genauer anschauen!

Vielen Dank für diesen Hinweis. =)

LG,
MCM
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo
Das ist die elegante Methode des kundigen Mathmatikers. Die armen Studenten in den ersten Semestern müssen aber wahrscheinlich zu Fuß gehen Augenzwinkern .
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