Stochastik Grenzwert Verteilung

11.06.2013, 20:08

Gri

Stochastik Grenzwert Verteilung

Meine Frage:
Im Zeitraum von 1970-1999 wurden in der Bundesrepublik Deutschland insegesamt 25171123 Lebendgeburten registriert. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter maximal m=12241391 Mädchen befinden, wenn jedes Kind (unabhängig von den anderen) mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ein mädchen ist. Wie ist es daher zu interpretuieren, dass tatsächlich m Mädchengeburten registriert sind?

Meine Ideen:
Ich tippe auf die Poisson Verteilung.

Folglich :

$\begin{eqnarray*} P(0\leq x\leq 12241391) = \sum\limits_{k=0}^{12241391} P_{\lambda }(k) = (\sum\limits_{k=0}^{12241391} \frac{\lambda ^{k}}{k!} ) * e^{-\lambda } \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun was Lamda ist? Laut Buch der Erwartungswert.

Wäre das dann ....
$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum\limits_{i=0}^{n} i * P(x=x_{i}) = \sum\limits_{k=0}^{25171123} x * \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
??

Und Anschlussfrage. Selbst wenn ich Lamda habe? Wie löse ich dann den Therm (s.o.) auf?

11.06.2013, 20:16

HAL 9000

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Nein: Die Anzahl $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Mädchen ist binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B\left( 25171123 , \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Die Näherung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \approx \operatorname{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda = np \end{eqnarray*}$ kann nur dann zur Anwendung kommen, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß und (!) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sehr klein ist - von letzterem kann hier mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ keine Rede sein. unglücklich

Hier greift eher die Normalverteilungsapproximation $\begin{eqnarray*} B(n,p) \approx \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu = np,\sigma^2=np(1-p) \end{eqnarray*}$ , die für $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \geq 9 \end{eqnarray*}$ als einigermaßen ausreichend erachtet wird.

11.06.2013, 21:25

Dopap

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bei dieser Aufgabe hätte es auch nicht geschadet wenn man beachtet hätte dass $\begin{eqnarray*} p(m)\neq \tfrac 12 \end{eqnarray*}$ in der BRD ist. Und das gilt höchstsignifikant.

11.06.2013, 21:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
dass $\begin{eqnarray*} p(m)\neq \tfrac 12 \end{eqnarray*}$ in der BRD ist. Und das gilt höchstsignifikant.

Doch nicht alles verraten: Dies ergibt sich doch auch im Ergebnis der Rechnung hier. Augenzwinkern

11.06.2013, 21:52

Dopap

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sorry! man sollte 'ne Aufgabe auch immer ganz lesen unglücklich

12.06.2013, 11:45

Gri

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Rückfrage
Moin, danke schon mal für die Antworten. Habe mich ein bisschen mit Normalverteilung auseinandergesetzt.

Mein Ansatz:

Die Normalverteilungsfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} \Phi (\frac{x - \mu}{ \sigma} ) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \mu = np \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} = np(1-p) \end{eqnarray*}$

Da wir ja einen Grenzwert haben, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \mu = np = 25171123 * \frac{1}{2} = 12585561,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma^{2} = np(1-p) = 25171123 * \frac{1}{2} (1-\frac{1}{2}) = 6292780,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> P(X \leq 12241391) = P(\frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)} } \leq \frac{12241391 - 12585561,5}{\sqrt{6292780,75}} \approx P(Z \leq -137,2) \end{eqnarray*}$

Bitte noch mal um Hilfe, ich komme gerade irgendwie nicht weiter.

12.06.2013, 15:37

HAL 9000

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Ja, soweit richtig. Hast du nun eine Vorstellung, wie groß, oder besser gesagt wie klein dieses $\begin{eqnarray*} P(Z \leq -137.2) \end{eqnarray*}$ ist? Vermutlich hast du schon gesehen, dass dich hier irgendwelche Normalverteilungstabellen nicht weiter bringen, denn der Wert ist jenseits von deren Skale. Augenzwinkern

Mit CAS ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P(Z \leq -137.2) \approx 9\cdot 10^{-4091} \end{eqnarray*}$ ,

wirklich ziemlich klein und damit extrem unwahrscheinlich. Womit Dopap mit seiner erwähnten hohen Signifikanz vollkommen recht hat. Genauer gesagt, gilt signifikant $\begin{eqnarray*} p(M) < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

12.06.2013, 15:44

Dopap

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damit bist du doch fertig.

Der Geburtenwert liegt um 137 ( !!! ) Standardeinheiten neben dem Erwartungswert!!
Das hat so gut wie keine Wahrscheinlichkeit mehr.

Womit die These $\begin{eqnarray*} p=\frac 12 \end{eqnarray*}$ mit Höchstsicherheit abgelehnt werden kann.

12.06.2013, 16:40

Gri

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Verständnis
Super danke. Noch mal zum Verständnis. 137 ist die Abweichung vom Erwartungswert und somit so klein, dass es kaum beachtbar ist. Die Wahrscheinlichkeit ist somit sehr gering. Doch was habe ich jetzt genau berechnet? Die angenommene Wahrscheinlichkeit war ja 1/2. wenn die errechnete Wahrscheinlichkeit der Abweichung kaum ins Gewicht fällt, müsste 1/2 doch gerade der Wirklichkeit entsprechen?!

12.06.2013, 17:21

Dopap

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du hast berechnet, dass die Wkt des beobachtete Ereignis unter der Annahme p=0.5 so gut wie Null ist.
Wenn das eine Münze gewesen wäre, dann könntest du dein Leben verwetten, dass diese Münze "falsch" ist.
Die Annahme, dass das Geschlecht eines Kindes ein Laplace-Experiment ist, ist auf gar keinen Fall zu halten.

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