Grenzwert berechnen

11.06.2013, 21:42

Exix

Grenzwert berechnen

Meine Frage:
Hallo,
kann mir jemand erklären wie man auf den Grenzwert mithilfe der bernoulli l'hospital Regel kommt von folgendem Therm :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{x-1} } \end{eqnarray*}$

limes soll gegen 1 gehen

danke schonmal im vorraus smile

Meine Ideen:
In den Lösungen wird mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{x-1} } \cdot ln x = e \end{eqnarray*}$ gerechnet , aber keine ahnung wie man da drauf kommt...

11.06.2013, 21:46

HAL 9000

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Exix
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{x-1} } \end{eqnarray*}$

limes soll gegen 1 gehen

Nicht "der Limes geht gegen 1". sondern es soll der Limes für x gegen 1 gebildet werden - ein erheblicher Unterschied. Beachte das bitte, wenn du schon die Formeln nicht ordentlich schreiben kannst. Es geht also um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} \frac{1}{x^{x-1}} \end{eqnarray*}$

Und bei der Umformung hast du auch schlecht abgeschrieben: Da stand gewiss

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{x-1}} = \frac{1}{e^{(x-1)\cdot \ln x}} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Halt, da der Grenzwert ja $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ sein soll, beginne ich zu ahnen, dass es dir in Wahrheit um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} x^{\frac{1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

geht. Und dann lautet die Umformung aber $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{x-1}} = e^{\frac{\ln x}{x-1}} \end{eqnarray*}$ Finger1

Das ist ja schon langsam algebraischer Analphabetismus, mit dem man sich hier rumschlägt.

11.06.2013, 22:28

Exix

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RE: Grenzwert berechnen
okay erstmal sorry für meine Schlampigkeit^^

Also das letztendliche Ergebnis ist 1, komme nicht auf die genauen Umformungsschritte :/

12.06.2013, 00:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Exix
Also das letztendliche Ergebnis ist 1

Eben war es noch $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du erstmal deutlich sagen, um welche Variante es denn nun wirklich geht.

17.06.2013, 19:52

Exix

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Also , diese Funktion $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} x^{\frac{1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

soll als Ergebnis 1 haben, nun verstehe ich nicht wie man darauf kommt.

17.06.2013, 20:26

Grautvornix

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Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}x^{\frac 1{x-1}} \end{eqnarray*}$ soll also existieren und den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ haben.

Nun, es gibt verschiedene Möglichkeiten das zu zeigen.

Man könnte z.B. zunächst den wohlbekannten Differenzenquotienten

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=1 \end{eqnarray*}$

betrachten und dann, die Stetigkeit der Exponentialfunktion nutzend, folgern dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}e^\frac{\ln(x)}{x-1}=e. \end{eqnarray*}$

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