Rekonstruktion der Funktion eines Graphen 4.Grades

11.06.2013, 22:25

Anon42

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Rekonstruktion der Funktion eines Graphen 4.Grades

Das Schaubild einer ganzrationales Funktion 4.Grades ist symetrisch zur y-Achse. Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung und schließt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt A=4,05 Feldeinheiten ein. Bestimmen Sie f(x) wenn der Graph durch (3|0) geht.

Meine Versuche:

P(0|0), Q(3|0) und da Achsensymmetrisch Q(-3|0).
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f1(0)=a0^4+c0^2+0 |f1 = 0
f2(3)=a*3^4+c*3^2+0
f3(-3)=a*(-3)^4+c *(-3)^2+0

ich weiß nicht wie ich weiter machen soll

11.06.2013, 22:30

Gast11022013

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Ich würde die Achsensymmetrie so verwenden, dass du

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+cx^2+e \end{eqnarray*}$

reduzierst.

Dann brauchst du nur 3 anstatt 5 Bedingungen. Darfst aber deinen Punkt (-3|0) nicht verwenden, weil er schon in dieser "Reduzierung" drin steckt.

Dann hättest du die Bedingungen

f(0)=0

f(3)=0

nun benötigst du nur noch eine Bedingung.
Verwende die Angabe, dass im Ursprung die x-Achse berührt wird.

Edit: Ich sehe gerade, dass die Bedingung des Berührpunktes unbrauchbar ist.

11.06.2013, 22:37

Anon42

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Ich bin ein 5er Schüler in Mathe
deswegen verzeiht mir für meine nicht intelektuellen Fragen Hammer

Hammer

1.heißt es also ich darf den Punkt (-3|0) nicht verwenden da es Achsensymetrisch ist und ich mir die Arbeit also umsonst mache???
2."nun benötigst du nur noch eine Bedingung.
Verwende die Angabe, dass im Ursprung die x-Achse berührt wird. "
das ist doch f(0)=0 welches ein Berührpunkt ist und somit doppelt vorhanden ist???

11.06.2013, 22:45

Gast11022013

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Deine Fragen sind doch ganz normale Fragen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu deinem ersten Punkt:

Du könntest diese Angaben schon verwenden. Das würde es jedoch meiner Meinung nach nur komplizierter machen.
Immerhin kannst du die Funktionsgleichung ja direkt reduzieren. Wieso also nicht auch direkt ausnutzen. Das macht auch das spätere lineare Gleichungssystem einfacher zu lösen. Immerhin hättest du dann nur 3 Gleichungen und nicht 5.
Zu mal ich mir auch nicht sicher bin, ob man auch überhaupt 5 brauchbare Bedingungen hier entnehmen kann.

Zu deinem zweitem Punkt:

Ja das wäre richtig. Bringt hier leider nichts.
Ich hatte übrigens die Bedingung

f '(0)=0

im Kopf, also das die Steigung für x=0 auch Null beträgt. Immerhin hat die x-Achse ja auch keine Steigung.

Diese Bedingung ist jedoch auch unbrauchbar.

Hier muss also dann doch mit der Angabe zum Integral/Flächeninhalt gearbeitet werden.
Dabei finde ich es hier nicht eindeutig formuliert, wie die Grenzen zu wählen sind.

Könntest du aus der Angabe zum Integral eine weitere Bedingung zusammenbauen?

11.06.2013, 22:57

Anon42

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Nach der Aufstellung der Bedingungen weiß ich gar nicht wie ich weiter machen soll.
Ich glaube ich habe zu dieser Stunde gefehlt traurig

traurig

ich möchte die Aufgabe unbedingt nachvollziehen können, da die nächsten Aufgaben darauf aufbauen (Aufstellen von Kurvengleichungen bei gegebenem Flächeninhalt & Schnittpunkte mit der x-Achse)

11.06.2013, 23:05

Gast11022013

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Nachdem du die Bedingungen aufgestellt hast, musst du ein lineares Gleichungssystem lösen.
Das ist hier recht einfach.

Wir sollten aber erstmal die Bedingungen aufstellen.

Zwei von drei nötigen Bedingungen haben wir ja schon.

f(0)=0

f(3)=0

Für die letzte Bedingung brauchen wir folgendes:

Zitat:

Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung und schließt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt A=4,05 Feldeinheiten ein.

Wie oben bereits kurz erwähnt, halte ich es hier nicht für ganz eindeutig wie die Grenzen des Integrals zu wählen sind.
Ist mit 4,05 die gesamte Fläche gemeint, die die Funktion mit der x-Achse einschließt, oder nur die Fläche für ein Teilintervall (die hälfte der Funktion).

Ich würde hier zu letzterem tendieren. Jedoch spielt es eigentlich gar nicht mal soo eine große Rolle wie man die Grenzen nun wählt. Das verändert die Koeffizienten nur um einen festen Faktor, nämlich 2.

Ich würde nun so vorgehen:

Was folgt direkt aus der Bedinung

f(0)=0

?

Danach bastel dir das Integral zu sammen.
Das muss ja inetwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = A \end{eqnarray*}$

Was muss nun bei dir für

f(x) (Die zu integrierende Funktion)

a (untere Grenze)

b (obere Grenze)

A (eingeschlossener Flächeninhalt)

eingesetzt werden.

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11.06.2013, 23:10

Mathe-Maus

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Gestattet einen kleinen Einwurf.

GMasterflash hat bereits die reduzierte Funktionsgleichung geschrieben. (Weiß man mit ein bissl Erfahrung.)

Berührpunkt der x-Achse im Ursprung.
f'(0) = 0

Warum soll das nicht gelten ?

11.06.2013, 23:14

Gast11022013

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Wenn man die reduzierte Gleichung hat, dann ist die 1. Ableitung ja

$\begin{eqnarray*} f '(x)=4ax^3+2cx<br /> <br /> f '(0)=0<br /> <br /> 4a\cdot 0^3+2c\cdot 0=0<br /> <br /> 0=0 \end{eqnarray*}$

Daraus gewinnt man einfach keine brauchbaren Informationen. verwirrt

verwirrt

11.06.2013, 23:19

Anon42

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so in etwa??

3
f(x)=4.05
0

11.06.2013, 23:21

Anon42

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verdammt

verwirrt

11.06.2013, 23:21

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \int_0^3 \! f(x) \, dx =4.05 \end{eqnarray*}$

Wenn du das meinst, dann kommt das hin.
Jetzt nur noch das f(x) ersetzen.

Hast du auch schon f(0)=0 ausgenutzt?

11.06.2013, 23:27

opi

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Eine Anmerkung zwischendurch, damit nicht zu viel Verwirrung um die Ableitung aufkommt:
Funktionsgleichungen sind sehr schlau. smile

smile

Wenn die allgemeine Funktionsgleichung bereits auf die y-Achsensymmetrie reduziert wurde, nützt die Berührbedingung im Ursprung nichts mehr. Wie sollte der Funktionsgraph denn auch sonst symmetrisch durch den Ursprung verlaufen, wenn nicht mit einer waagerechten Tangente?
Die reduzierte Funktionsgleichung "weiß" dies bereits. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2013, 23:29

Anon42

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>"Hast du auch schon f(0)=0 ausgenutzt? "
wo genutzt?

ich hätte so gerechnet aber da komme ich nicht auf 4.05

f(3)-f(0)=4.05

11.06.2013, 23:33

Gast11022013

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Zitat:

Hast du auch schon f(0)=0 ausgenutzt?

Damit meinte ich, ob du diese Bedingung schon aufgestellt hast.
Dann fällt nämlich direkt auf, dass e=0 ist.
Das können wir auch direkt in der Funktionsgleichung verwenden.

Setzte in den Integranden die Funktionsgleichung

$\begin{eqnarray*} ax^4+cx^2+e \end{eqnarray*}$

ein.

Bzw. mit dem Wissen, was f(0)=0 uns liefert, direkt

$\begin{eqnarray*} ax^4+cx^2 \end{eqnarray*}$

Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} \int_0^3 \! ax^4+cx^2 \, dx= 4.05 \end{eqnarray*}$

Bilde nun die Stammfunktion und berechne dann

$\begin{eqnarray*} F(3)-F(0)=4.05 \end{eqnarray*}$

11.06.2013, 23:43

Anon42

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1/5ax^5 + 1/3cx^3

[1/5*a*3^5 + 1/3c*3^3] - [1/5a*0^5 + 1/3c*0^3 ]

48,6a + 9c - 0 + 0 = 4.05

Vielen vielen Dank für eure Hilfe Freude

Freude

aber bei mir heißts Game Over

11.06.2013, 23:44

Gast11022013

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Jup.
Stimmt so.

Jetzt musst du nur noch das, aus zwei Gleichungen bestehende, LGS lösen. Das wäre schnell gemacht.

11.06.2013, 23:58

Anon42

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Danke jetz hab ichs!!!!!! Tanzen

Tanzen

Tanzen

Gott

ein riesen Dank für eure Geduld und eure Hilfe!!! Freude

Freude

12.06.2013, 00:05

Gast11022013

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Gern geschehen.
Hast ja auch gut mitgedacht.

Die Lösung müsste nun:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac18x^4+\frac98x^2 \end{eqnarray*}$

lauten.

Um jetzt nochmal auf die, meiner Meinung nach, ungenaue Bedingung zum Integranden zu kommen.

Hier hätte man, denke ich, genau so gut

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^3 \! f(x) \, dx=4.05 \end{eqnarray*}$

interpretieren können. Also die Fläche, die gesamt von der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird.

Ich halte aber die Bedingung mit der wir letztendlich gerechnet für plausibler.

Gute Nacht.
Wink

Wink

12.06.2013, 00:52

opi

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Die Lösung müsste nun:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac18x^4+\frac98x^2 \end{eqnarray*}$

lauten.

Es gibt noch eine zweite Lösung, nämlich die an der x-Achse gespiegelte Funktion.

Zitat:

Original aus Aufgabenstellung
und schließt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt A=4,05 Feldeinheiten ein.

Ich vertrete allerdings die Sichtweise, daß die Fläche im Intervall [-3,3] eingeschlossen wird.
[attach]30531[/attach]

12.06.2013, 03:14

Gast11022013

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RE: Rekonstruktion der Funktion eines Graphen 4.Grades

Zitat:

Original aus der Aufgabenstellung
Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung und schließt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt A=4,05 Feldeinheiten ein.

Das die Aufgabenstellung hier unklar formuliert ist, und beide Ansätze möglich sind, sollte klar sein. Darauf habe ich auch mehrfach hingewiesen.
Die obige Formulierung ließ es mich für plausibler erachten, dass die Fläche im Intervall vom Berührpunkt bis zur Nullstelle gemeint ist.

12.06.2013, 21:54

opi

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Dass Du auf die mögliche Problematik der Aufgabenstellung eingegangen bist, hatte ich gesehen.

Grund meines Beitrags war:

Zitat:

Original von opi

Es gibt noch eine zweite Lösung, nämlich die an der x-Achse gespiegelte Funktion.

"x-Achse" ist kein Schreibfehler. smile

smile

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