Divergenz/Rotationsintegral

11.06.2013, 22:42	gockel12	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz/Rotationsintegral Hallo, ich habe ein Problem mit dem Verständnis, was die Divergenz eines Vektors bedeutet. Lautet wikipedia ist die Divergenz ein Differentialoperator, der einem Vektorfeld ein Skalarfeld zuordnet. Was bedeutet das aber im speziellen. Es geht nämlich um den magnetischen Kraftfluß, der sich berechnet durch $\begin{eqnarray} \oint B\cdot dA =\int div B dV=0 \end{eqnarray}$ , woraus folgt divB=0 Da ich leider keine Ahnung habe, was ein rotationsintegral ist (kam in Mathe noch nciht dran, aber es wird in einer anderen Vorlesung vorausgesetzt...), bin ich damit völlig überfordert zu verseteh, was das bedeuten soll. Wenn mir also einer sagen könnte, was das anschaulich bedeutet in diesem Fall oder allgemein, wäre das echt ne gute Sache. Gruß gockel 12
11.06.2013, 22:45	gockel12	Auf diesen Beitrag antworten »
falls mir auch noch jemand sagen könnte, was das gleiche für rot A=0 bedeutet, wäre das gut. ich weiß, es ist schwierig eine so allg. angelegte Frage zu stellen, aber mir würde schon eine kurze Antwort mit einem Beispiel reichen
12.06.2013, 11:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Erklärung der Divergenz: --------------------------------- Beispiel 1: Angenommen in einem Behälter findet eine exotherme chemische Reaktion statt (z.B. eine Verbrennung von Kohle). Die entstehende Wärme strömt mit der Wärmestromdichte $\begin{eqnarray} \vec j \end{eqnarray}$ durch die Oberfläche $\begin{eqnarray} \vec A \end{eqnarray}$ des Behälters und erwärmt die Umgebung. Die abgeströmte Wärmeenergie E ist das Flussintegral $\begin{eqnarray} E=\oint \vec j\,d\vec A \end{eqnarray}$ Dieses Integral gibt leider keine Auskunft darüber, wieviel Wärme in einen gewissen Teilgebiet des Behälters entstanden ist. Um dies zu erfahren, unterteilt man den Behälter in n Teilvolumen $\begin{eqnarray} V_1, V_2,... V_n \end{eqnarray}$ mit den Oberflächen $\begin{eqnarray} A_1, A_2, ..., A_n \end{eqnarray}$ . Die Teilenergie, die aus dem Teilvolumen $\begin{eqnarray} V_k \end{eqnarray}$ abströmt, ist ähnlich wie oben $\begin{eqnarray} E_k=\oint \vec j\,d\vec A_k \end{eqnarray}$ Um zu erfahren, wieviel Wärme in einem einzelnen Punkt entsteht, macht man das Teilvolumen unendlich klein und bildet den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{V_k \to 0}\tfrac{\text{abgeströmte Energie}}{\text{ Teilvolumen }V_k}=\lim_{V_k \to 0}\tfrac{\oint \vec j\,d\vec A_k}{\text{Teilvolumen }V_k}=div(\vec j) \end{eqnarray}$ Diesen Grenzwert bezeichnet man als "Divergenz der Stromdichte" an demjenigen Punkt $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ , auf den das Teilvolumen zusammengezogen wurde. Die Divergenz ist also eine Zahl, die angibt, wieviel Wärme an diesem Punkt infolge der chemischen Reaktion entsteht. ----- Beispiel 2: Stellt man einen geschlossenen Kasten, dessen Wände aus einem Drahtgitter bestehen, in einen Fluss, so strömt das Wasser ungehindert durch die Gitterwände. Es ensteht und verschwindet dabei kein Wasser. Das heißt, die Divergenz der Wasserstromdichte ist überall im Kasten null - im Gegensatz zur Divergenz der Wärmestromdichte im obigen Beispiel.
12.06.2013, 15:23	gockel12	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Was mir allerdings nicht ganz klar ist, ist der Unterschied zwischen dem 1.) und dem 2.) Beispiel. Das Beispiel 2.) funktioniert doch nur, weil sozusagen die Wassermenge im Fluss unendlich groß ist und der Strom nie abreißt. Würde er abreißen, wäre die Divergenz nicht null, oder? Weil sonst könnte ich bei Beispiel eins ja auch sagen, dass die Divergenz 0 ist, denn zwischen zwei Zeitpunkten t_1 und t_2 kann es ja durchaus sein, dass der "Strom" der abfliessenden Wärmeenergie konstant ist und somit es sich wie beim Wasser verhält. Denn beim Wasser fließt ja auch nicht immer das gleiche Wasser durch das Gitter, sondern es handelt sich nur die ganze Zeit um Wasser, aber nicht immer um das gleiche. Folgt dann daraus, dass wenn die exotherme Reaktion unendlich lang wäre, dass dann die Divergenz in diesem Fall auch 0 wäre? Oder wird hier das Beispiel einfach überstrapaziert? Was mir in deinem Beispiel allerdings auch noch nicht ganz klar ist, ist, was das Kurvenintegral genau macht. Denn eigentlich müsste ich, wenn ich die Wärmestromichte j über die Fläche A integriere (also nicht mit dem Kurvenintegral) doch auch auf den gleichen Wert für E kommen, also mathematisch: $\begin{eqnarray} \int \vec {j} \cdot d \vec {A}= \oint \vec {j} \cdot d \vec {A} \end{eqnarray}$ Die Frage ist also, warum das nicht gilt bzw. , was das Kurvenintegral macht?!
13.06.2013, 12:21	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Divergenz bezieht sich in beiden Beispielen auf einen festen aber beliebigen Zeitpunkt t (wie auf einem Foto). Zu diesem Zeitpunkt hat die Stromdichte $\begin{eqnarray} \vec j(\vec x) \end{eqnarray}$ auf jedem Punkt $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ der Oberfläche $\begin{eqnarray} \vec A \end{eqnarray}$ des Behälters einen bestimten Wert. Das Integral $\begin{eqnarray} \oint \vec j \,\,d \vec A \end{eqnarray}$ ist die Wassermenge bzw. Energiemenge, die zu diesem Zeitpunkt durch die Oberfläche strömt. Dabei ist es egal, ob die exotherme Reaktion irgendwann zu Ende ist oder ob der Wasserstrom irgendwann abreißt. Zu einem anderen Zeitpunkt kann die Stromdichte und damit das Integral einen anderen Wert haben. Die Historie spielt für das konkrete Interal keine Rolle. Übrigens ist $\begin{eqnarray} \oint \vec j\,\,d\vec A \end{eqnarray}$ kein Kurvenintegral, sondern ein Oberflächenintegral. Der Kreis im Integralzeichen soll andeuten, dass es sich um eine geschlossene Fläche handelt. Oft lässt man den Kreis weg. In manchen Büchern macht man auch ein doppeltes Integralzeichen mit einem Kreis. Letzteres ist aber mit Latex nicht darstellbar.

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