Gerade steht senkrecht auf Gerade

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steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade steht senkrecht auf Gerade
Hallo Zusammen,

die Aufgaben:

(a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte und geht.

(b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt geht und senkrecht auf steht.

Die Aufgabe (a) habe ich schon bearbeitet und laut Lösungsbuch richtig gelöst


So, zu (b)

Der Ortsvektor von muss ja sein, aber wie komme ich auf den Richtungsvektor? Der noch "unbekannte" muss ja mit dem Richtungsvektor aus das Skalarprodukt 0 haben. Wie bestimme ich den jetzt? In der Lösung steht
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte klar sein, dass die gesuchte Gerade in der Ebene ABC liegen muss.
Also tut dies der unbekannte Vektor auch. Daher muss diese Bedingung ausser der Orthogonalität auch noch erfüllt sein. Die Länge des Vektors ist beliebig, weil es nur auf die Richtung ankommt ...

mY+
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt habe ich die Ebenengleichung aufgestellt:

Ist das so korrekt? Nun weiß ich aber leider nicht weiter. ..
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ebenengleichung ist richtig.
Nun kannst du ja den bereits erwähnten Weg gehen, also den Normalvektor so annehmen, dass sein skalares Produkt mit dem Vektor AB gleich Null ist und er auch in der Ebene liegt. Ein Freiheitsgrad für die Komponenten dieses Vektors liegt dabei noch vor, weil es auf dessen Länge nicht ankommt.
Weil der gesuchte Vektor ebenfalls in der Ebene liegt, kann er als Linearkombination deren beiden Richtungsvektoren geschrieben werden:



Aus



gewinnt man eine Bedingung für s, t. Weil die Länge des Normalvektors nicht bestimmt ist, kannst du nun einen beliebigen Wert für s oder t wählen (z.B. t = 3), daraus folgt der andere Wert und letztendlich der Normalvektor n.
__________________

Alternativer Weg: Bestimmung des Normalenfußpunktes von C auf AB durch Schnitt der Normalebene auf AB durch C.

mY+
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, habe jetzt bestimmt. Ich weiß jetzt leider nur nicht weiter... ich habe den nächsten Schritt leider nicht verstanden. .
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst eben nicht jeden beliebigen Normalvektor nehmen, denn auch wenn das Skalarprodukt Null ist, gibt es unendlich viele solche verschieden orientierte Vektoren (sie liegen alle in der auch im alternativen Lösungsweg angesprochenen Normalebene).
Für einen davon gilt die schon erwähnte weitere Bedingung, dass er in der Ebene ABC liegen und daher eine Linearkombination aus deren beiden Richtungsvektoren sein muss.

Diese Bedingung wurde schon hingeschrieben:



Nun multipliziere diesen mit dem Vektor AB skalar, dieses Produkt muss Null ergeben:



Jetzt ausmultiplizieren, es folgt daraus eine einfache Gleichung in s und t, wobei du einen der beiden Parameter - wie ebenfalls schon gesagt - frei wählen kannst (t = 3 wurde vorgeschlagen, jede andere Wahl ist ebenso möglich und führt auch immer wieder auf das selbe Resultat). Man kann auch - noch einfacher - aus dieser Gleichung einen Parameter durch den anderen ersetzen und diesen dann gemeinsam als Faktor vor den eigentlichen Vektor schreiben, letzterer ist dann auch schon der gesuchte Normalvektor.

Wenn du mit diesem Weg absolut nicht zurecht kommst, wähle die vorgeschlagene alternative Methode.

mY+
 
 
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah,vielen Dank dir! Jetzt habe ich verstanden was ich machen muss smile









So müsste es doch jetzt stimmen, oder?

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Japp, so stimmt alles. smile

mY+
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse, vielen Dank dir! Freude
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