Winkelberechnung Vektor und X-Achse

12.06.2013, 00:17	deepdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelberechnung Vektor und X-Achse Meine Frage: Hallo allerseits, nun qäle ich mich seit einer Stunde mit einer Aufgabe, dessen Lösungsansatz ich zunächst komplett falsch gesetzt hatte (habe bei phi mit + anstelle von * gerechnet <.<), und jetzt bin ich mir eigentlich sicher, dass ich die richtige Formel verwende, aber mein Ergebnis stimmt überhaupt nicht mit meiner Schätzung überein. Und zwar soll ich (unter anderem) den Winkel zwischen c=(-3, 4) und der x-Achse berechnen. (c=Vektor) Meine Ideen: Meine X-Achse ist folgendermaßen definiert: x=(0, 1) zunächst cx=...=4 dann \|c\|=5, \|x\|=1 dann phi=acos(4/5) -------- Den Rechenweg habe ich bereits mehrmals überprüft. Als Richtwert habe ich mir skizzen angefertigt; meine Skizze sagt: ca. 128°-130°. das Prinzip phi=acos(cx/\|c\|*\|x\|) hat bei Vektor a und b funktioniert, aber nun erhalte ich einen Wert von '36,87°', und das stimmt nun überhaupt nicht mit dem Richtwert überein, egal, wie man es dreht und wendet. Ich bin ein bisschen am verzweifeln; um ehrlich zu sein verstehe ich nicht viel von cos, sin, tan (...). Kann also gut sein, dass ich einen komplett falschen Lösungsansatz habe Ich wäre auch froh über weitere Tipps zum Thema Vektor-Winkelberechnung, wenn mein Ansatz falsch ist.
12.06.2013, 00:32	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
zwischen einem Punkt und der x-Achse ist der Winkel kaum definiert. Es sei denn man rechnet den Punkt in Polarkoordinaten um. Bei (-3,4) wäre das: $\begin{eqnarray} \varphi=\arctan \frac {4}{-3} \end{eqnarray}$ und nebenbei $\begin{eqnarray} r=\sqrt{(-3)^2+{4}^2} \end{eqnarray}$
12.06.2013, 01:00	deepdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst geht es nicht um einen Punkt, sondern einen Vektor. Er beginnt bei Null und endet bei dem Wert $\begin{eqnarray} \vec{c} =\begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann entschuldige ich mich für mein " phi=acos(cx/\|c\|\|x\|)"; ich bin die erste, bei der sich hier die Nackenhaare Sträuben. Leider kann ich meinen Beitrag nicht mehr korrigieren. also. Ich habe $\begin{eqnarray} \varphi = \arccos( \frac{\vec{a}\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}) \end{eqnarray}$ verwendet. $\begin{eqnarray} \|\vec{c}\|=\sqrt {(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c}\vec{x}=(-3)0+41=4 \end{eqnarray}$ Der Betrag von $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ ist 1. Daher kommt die Formel $\begin{eqnarray} \varphi_c = \arccos( \frac{4}{51})= \arccos( \frac{4}{5})= 36,87° \end{eqnarray}$ Diese Formel hat bisher immer gepasst, obwohl ich diese Formel relativ fragwürdig finde. Ich denke, hier sind keine Polarkoordinaten vonnöten, obwohl ich wirklich nicht weiß, was das überhaupt ist. Wahrscheinlich sind sie hier in den meinigen Formeln irgendwo "verschluckt".
12.06.2013, 01:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann es sich auch schwer machen. Polarkoordinaten beschreiben jeden Punkt durch den Winkel zur x-Achse und dem Abstand zum Urpsprung. Ein Punkt (a,b) hat also $\begin{eqnarray} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ und den winkel $\begin{eqnarray} \varphi = \arctan \frac b a \end{eqnarray}$ Es besteht kein Grund das zu verklomplizieren.
12.06.2013, 01:26	deepdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also Polarkoordinaten ist der Betrag vom Vektor. $\begin{eqnarray} \varphi = \arctan \frac {4}{-3} \end{eqnarray}$ ergibt -53,13 Ich denke, folgendes ist einfach "Zahlenzirkus", ergibt aber ein passiges Ergebnis: $\begin{eqnarray} -53,13+180=126,87 \end{eqnarray}$ Das passt zu meiner Skizze, aber wie erkläre ich das meinem Mathe-Prof? edit: Ah, ich glaube, mir dämmert's; hat was von Betragrechnung... aber wie schreibe ich sowas mathematisch korrekt? Danke für deine Hilfe, Dopap edit: aber für $\begin{eqnarray} \vec {a}=(2\ ;1) \end{eqnarray}$ funktioniert das nicht ganz so... da kommt das "richtige, aber negative" Ergebnis raus, sobald ich 90 Subtrahiere; 63,43° Okay, ich denke, ich bitte doch um Erklärung. Was sind diese Sin,Cos,Tan's und wieso ergeben sie so abwechselnd richtige Ergebnisse?
12.06.2013, 01:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Betragsrechnung hat das wenig zu tun, es geht doch um den Winkel. Auf Grund der Koordinaten des Endpunktes (-3; 4) musst du zunächst den Quadranten lokalisieren (es ist der 2.). Und dort bewegt sich der Winkel zwischen 90° und 180°. Da der arctan einen negativen Wert liefert, kann der Winkel nur im 4. oder 2. Quadranten liegen --> hier ist es also der 2. Conclusio: --> -53,13° + 180° mY+ EDIT: Der Betrag (die Länge) ist 5, somit kann auch mit dem SIN bzw. COS gerechnet werden: $\begin{eqnarray} sin \varphi = \frac 4 5 \ \text{und} \ \cos \varphi = - \frac 3 5 \end{eqnarray}$ Aus +SIN und -COS folgt wieder, dass der Winkel im 2. Quadranten liegen muss, arcsin bzw. arccos liefert dann wieder den gleichen Winkel (man muss von den möglichen Werten den zutreffenden nehmen). ______________ (2; 1) ist einfach, da liegt doch alles im 1. Quadranten! What's the problem?
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12.06.2013, 02:31	deepdream	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, DAS ergibt natürlich mehr Sinn Das muss einem ja auch gesagt werden Danke für eure Geduld. und (2; 1) hatte ich ja schon raus, ich wollte das nur nochmal mit arctan probieren. Dann werde ich mir zu einer späteren Stunde ganz ausführlich die Quadranten im Zusammenhang mit den drei Kumpels ansehen.
12.06.2013, 14:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varphi = \arctan \frac 1 2 \end{eqnarray}$ , und dieser Winkel liegt natürlich im 1. Quadranten. mY+

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