Extrempunkte auf vorgegebener Menge

12.06.2013, 01:30	Frank098	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrempunkte auf vorgegebener Menge Guten Abend. Wenn ich Extrempunkte mehrerer Veränderlicher bestimmen will, dann ist der erste Schritt: Den Gradienten bilden und dann die einzelnen partiellen Ableitungen gleich Null setzten und dann erhalten wir auch schon mögliche Kandidaten, oder? Was bedeutet es, wenn in der Aufgabenstellung steht, dass ich Extrempunkte auf einer Menge suchen soll? Mal ein Beispiel: Die Funktion lautet: $\begin{eqnarray} x^2+12xy+2y^2 \end{eqnarray}$ Und ich soll die Funktion auf Extrempunkte in dieser Menge suchen: $\begin{eqnarray} K = \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^2 : 4x^2+y^2 \leq 25 \right\} \end{eqnarray}$ Was hat das mit der Menge jetzt auf sich? In welcher Hinsicht muss ich die Menge jetzt in meine Rechnung mit einbeziehen? Dankeschön
12.06.2013, 06:11	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt mir stark nach Lagrange Gleichung 1. Art, habt ihr sowas zur Zeit behandelt?
12.06.2013, 11:01	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Rand von K kannst du eine Lagrange-Gleichung lösen. Fürs Innere musst du die Punkte suchen, für die beide partiellen Ableitungen gleich Null sind. Dies wären dann Kandidaten für Extremstellen. Es muss dann natürlich noch festgestellt werden, ob es nicht Sattelpunkte sind. Da die Funktion aber vom 2. Grad ist, kann man diese Möglichkeit durch Betrachtung der Hesse-Matrix entscheiden.
13.06.2013, 00:42	Frank098	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo RavenOnJ und schultz Vielen Dank für eure Antworten. Leider kann ich mit dem was zu der Lagrange Gleichung 1. Art im Skript steht und dem was im Internet zu finden ist nichts anfangen. Nicht mal ansatzweise Könnt ihr mir hier bitte helfen? Für die inneren Punkte versuche ich es selbst: $\begin{eqnarray} f_x = 2x + 12y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y = 12x + 4y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x + 12y = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 6y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 12x + 4y = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = 3x \end{eqnarray}$ Ich erhalte die Lösungen: x = 0 und y = 0. Ist das bis hierhin richtig? Danke
16.06.2013, 15:07	Frank098	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal. Nun bin ich schon weitergekommen. Ich habe die Hesse-Matrix von f bestimmt: $\begin{eqnarray} H_f = \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 12 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und diese Matrix ist indefinit, also kann der Punkt (0,0) kein Extrema sein. Nun muss ich noch den Rand untersuchen, also: $\begin{eqnarray} \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^2 : 4x^2+y^2 = 25 \right\} \end{eqnarray}$ Hier habe ich die Lagrange-Multiplikatoren zuhilfe genommen und bin auf 4 kritische Punkte gestoßen: $\begin{eqnarray} \pm (\frac{3}{2} ,4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pm (2,-3) \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun wie geht es weiter? Was muss ich nun tun? Ich dachte ich müsse nun wieder mit der Hesse-Matrix überprüfen, ob es sich bei den Punkten denn nun um Maxima oder ein Minima handelt. Aber die Hesse-Matrix ist doch indefinit. Und hängt weder von x noch von y ab, also ich kann da jeden Punkt betrachten und es kann kein Extrema sein, oder? Könnt Ihr mit bitte helfen?

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