Vektorraum (Polynome)

12.06.2013, 11:36

JürgenHornseif

Vektorraum (Polynome)

Ich soll mit n element IN zeigen das folgende Menge

$\begin{eqnarray*} R_{n} [x]:= \left\{ x\rightarrow a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} \in \mathbb R |a_{0},a_{1},...,a_{n}\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

der Vektorraum der Polynome, deren Grade kleiner oder gleich n ist.

Als Hinweis ist angegeben:

1) $\begin{eqnarray*} F(\mathbb R ,\mathbb R ):=\left\{f:\mathbb R \rightarrow\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
2) (f+g)(x):=f(x)+g(x)
3) $\begin{eqnarray*} f\in F(\mathbb R ,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ gilt (a*f)(x):=a*f(x)

Meine Frage: Kann ich einfach zwei Polynome f(x) und g(x) definieren und dann mithilfe dieser beiden Polynomfunktion einfach die Vektorraumaxiome überprüfen?

12.06.2013, 11:56

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Kann ich einfach zwei Polynome f(x) und g(x) definieren und dann mithilfe dieser beiden Polynomfunktion einfach die Vektorraumaxiome überprüfen?

Wenn Du für zwei spezielle Polynome die Vektorraumaxiome nachweist, hast Du bewiesen, dass diese beiden Polynome die Eigenschaft erfüllen. Damit hast Du nicht gezeigt, dass auch alle anderen Polynome diese Erfüllen.

Was die Aufgabe angeht:

Wisst ihr bereits, dass die Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bereits einen Vektorraum bilden? Wenn ja, musst Du nur die Unterraumeigenschaft nachweisen. Wenn nicht musst Du tatsächlich die Vektorraumaxiome nachweisen.

12.06.2013, 12:21

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für deine Antwort.

Das sie einen Vektorraum bilden haben wir noch nicht bewiesen, d.h. dann wahrscheinlich das ich die 8 Vektorraumaxiome nutzen muss.

Wie kann ich das den allgemein zeigen? Kannst du eventuell als Beispiel die Addition a+b, wobei a und b die Polynomfunktionen sind und die Skalarmultiplikation k*(a+b), wobei k Körper ist zeigen? Es geht mir halt darum wie ich das allgemein zeigen kann.

12.06.2013, 12:39

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Die ganze Aufgabe lässt sich im Prinzip schon durch sauberes Aufschreiben lösen. Nehmen wir also an wir wollten zeigen, dass die Addition abgeschlossen ist. Es seien also

$\begin{eqnarray*} p,q \in R_n[x] \end{eqnarray*}$ dann ist zu beweisen, dass auch $\begin{eqnarray*} p+q \in R_n[x] \end{eqnarray*}$ . So, was bedeutet denn , dass $\begin{eqnarray*} p,q \in R_n[x] \end{eqnarray*}$ ist? Es bedeutet, dass es koeffizienten $\begin{eqnarray*} \lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n, \mu_0,\mu_1,...,\mu_n \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} p(x) = \lambda_0 + \lambda_1 x + \lambda_2 x^2 ... + \lambda_nx^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} q(x) = \mu_0 + \mu_1 x + \mu_2 x^2 ... + \mu_nx^n \end{eqnarray*}$

Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} p + q \in R_n[x] \end{eqnarray*}$ ist, wir wollen also zeigen, dass es Koeffizienten $\begin{eqnarray*} k_0,...,k_n \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} p(x) + q(x) = k_0 + k x + k x^2 ... + kx^n \end{eqnarray*}$

Bis hierhin haben wir eigentlich keine Denkarbeit geleistet, sondern nur aufgeschrieben was wir eigentlich haben. Nun, es ist

$\begin{eqnarray*} p(x) + q(x) = \sum_{i=0}^n \lambda_i x^i + \sum_{i=0}^n \mu_i x^i= \sum_{i=0}^n \underbrace{(\lambda_i + \mu_i)}_{\in \mathbb{K}}x^i \in R_n[x] \end{eqnarray*}$

Damit ist also $\begin{eqnarray*} p + q \in R_n[x] \end{eqnarray*}$ und damit ist die Addition in den Polynomen abgeschlossen. Im Übrigen ist

$\begin{eqnarray*} k_i = \lambda_i + \mu_i \end{eqnarray*}$

12.06.2013, 17:54

Jürgenhornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dann scheint es tatsächlich ein VR zu sein.

Ich habe jetzt noch zwei Aufgaben dazu.

1. Ich soll zu Rn(x) eine Basis angeben. Ich weiss das man die Basis leicht mithilfe Gauß und der Stufenform in Matrixdarstellung bestimmen kann. Hierzu muss ich einfach die ungleich Nullzeilen ablesen der Stufenform. Diese spannen eine Basis auf als Vektoren. Wie mach ich das jedoch hier,da ich ja nicht wirklich Vektoren oder eine Matrix vorgegeben habe. Kann ich irgendwie die vorgegebene Menge in eine Matrixüberführen ?

12.06.2013, 18:01

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes schreibst Du dir mal auf was linear Unabhängig für diesen Vektorraum explizit bedeutet. Vielleicht siehst Du dann ja schon wie man eine Basis auswählen könnte.

12.06.2013, 18:17

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungsmenge darf nur die triviale Lösungsmenge ergeben. Das heißt ich brauche ein LGS, welches mir die triviale Lösung erbringt oder?

12.06.2013, 19:12

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Lösungsmenge darf nur die triviale Lösungsmenge ergeben. Das heißt ich brauche ein LGS, welches mir die triviale Lösung erbringt oder?

Welche Lösungsmenge wovon? Schau Dir genau die Definition an und dann wende sie auf diesen Vektorraum an.

12.06.2013, 20:45

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Koeffizienten der genannten Polynomfunktion müssen als Lösungsmenge nur die Triviale Lösung (Nullvektor) ergeben oder? Auch müssen die Vektoren (In diesem Fall x,x^2,...,x^n) in Matrixdarstellung vollen Rang besitzen (Erzeugendensystembedingung). Wie komm ich auf solche Vektoren`? Weisst du das eventuell? Ich habe wirklich keine Ahnung.

12.06.2013, 20:55

mathe_frager3

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Anmerkung am Rande und evtl. als Vorgriff. Hier werden Polynome noch als Abbildungen betrachtet. Im Zuge der Algebra wird das aber noch verallgemeinert und Polynome nicht mehr als Abbildungen betrachtet LOL Hammer

12.06.2013, 21:17

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das ist nicht präzise genug und ihr habt sicher eine exaktere Definition. Eine Menge von Vektoren $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_2,...,n_n\} \subset V \end{eqnarray*}$ heißt linear Unabhängig wenn aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 ~ \forall i \end{eqnarray*}$

für uns heißt das, dass eine Menge von Polynomen $\begin{eqnarray*} \{p_1,...,p_n\} \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig ist, wenn aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i p_i = 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 ~ \forall i \end{eqnarray*}$ . Hier ist immer der Nullvektor auf der rechten Seite gemeint. In der Menge der Polynome ist der Nullvektor dass Nullpolynom, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i p_i = 0 \end{eqnarray*}$ ist also äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i p_i(x) = 0 ~ \forall x \end{eqnarray*}$

Jetzt suchen wir Polynome $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ für die das Ganze gilt. Wählen wir mal die Polynome $\begin{eqnarray*} p_1(x) = 1, p_2(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ , die beiden Polynome sind linear Unabhängig, es sei:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 1 + \lambda_2 x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

dann ist also

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -\lambda_2 x^2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung muss für alle x gelten (siehe die Überlegung oben). Wähle x = 0, dann folgt sofort $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt also schonmal

$\begin{eqnarray*} 0 = -\lambda_2 x^2 \end{eqnarray*}$ für alle x. Wähle x ungleich 0, dann muss auch $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sein, damit ist also insgesamt

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und damit sind $\begin{eqnarray*} p_1,p_2 \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig. Diese beiden Vektoren sind aber noch keine Basis unseres Vektorraumes, da müssen noch ein Paar dazu. Überlege dir mal wie man ein beliebiges Polynom erzeugen könnte.

12.06.2013, 21:42

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir sehr unsicher wäre dann lambda 3 wie folgt:

Es sei

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}1+\lambda_{2}x^{2}+\lambda_{3}x^{3}=0 \end{eqnarray*}$

Das ist Äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \lambda_{3}=\frac{-\lambda_{1}1-\lambda_{2}x^{2}}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Und das gilt für alle x=0

12.06.2013, 22:17

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Achte darauf was Du schreibst:

Zitat:

Und das gilt für alle x=0

Für x = 0 ist dein Ausdruck gar nicht definiert (division durch 0) daher macht die Argumentation so keinen Sinn.

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}1+\lambda_{2}x^{2}+\lambda_{3}x^{3}=0 \end{eqnarray*}$

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} 1,x^2,x^3 \end{eqnarray*}$ sind linear Unabhängig, aber das hast Du noch nicht gezeigt. Ich zeig dir mal was: Es muss

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}1+\lambda_{2}x^{2}+\lambda_{3}x^{3}=0 \end{eqnarray*}$ für alle x gelten. Wenn die Gleichung für alle x gilt , dann muss sie auch für spezielle x gelten. Für x = 0 erhalten wir Gleichung I:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Für x = 1 erhalten wir Gleichung 2:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Für x = -1 erhalten wir die Gleichung :

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_3 \end{eqnarray*}$

Wir haben also 3 Gleichungen und drei Unbekannte. Das kannst Du lösen Augenzwinkern

Diese 3 Vektoren bilden aber immernoch keine Basis. Wir wollen ja für algemeine Polynome:

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \end{eqnarray*}$

eine Basis finden. Schau dir die Summe mal exakt an und betrachte dazu unsere vorherigen Überlegungen.

12.06.2013, 22:45

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich weiss wirklich nicht weiter. Das Problem ist es allgemein zeigen zu können.

Wie würdest du den hier rangehen um das Erdgebnis herauszubekommen. Gibt es da ein bestimtes Verfahre das ich nicht kennen sollte und nützlich zu scheinen mag ?

12.06.2013, 22:50

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie würdest du den hier rangehen um das Erdgebnis herauszubekommen. Gibt es da ein bestimtes Verfahre das ich nicht kennen sollte und nützlich zu scheinen mag ?

Ein Verfahren gibt es in den seltensten Fällen. Was man aber grundsätzlich immer machen sollte ist ordentliches Aufschreiben der Sachen die gegeben sind und die gesucht sind. Dazu gehört auch Definitionen aus den Vorlesungsunterlagen nachzuschlagen.

Schritt I : Die Basis finden

Schritt II : Zeigen, dass die Menge tatsächlich eine Basis ist

Wir haben Schritt I immernoch nicht abgeschlossen. Schau dir nochmals die obigen linear unabhängigen Polynome an und dann schau Dir das allgemeine Polynom an. Was wäre wohl eine Basis?

12.06.2013, 23:01

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich eigentlich zeigen, dass 1,x^2,x^3,... Linear unabhängig sind um eine Basis anzugeben?

12.06.2013, 23:03

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Muss ich eigentlich zeigen, dass 1,x^2,x^3,... Linear unabhängig sind um eine Basis anzugeben?

Als erstes musst Du dir klar werden, welche Menge von Polynomen eine Basis sein könnte. Obiges ist noch nicht ausreichend. Ein Vektor fehlt.

12.06.2013, 23:05

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komm ich den auf die Basis? Woran denkst du immer wenn du entscheiden sollst? Ich kann das nur bei vorgegebenen Vekoren mithilfe Matrizen überprüfen. Aber hier fällt mir das wirklihch sehr schwer.

12.06.2013, 23:25

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich kann das nur bei vorgegebenen Vekoren mithilfe Matrizen überprüfen.

Dann hast Du wahrscheinlich weniger verstanden was Basis , linear Unabhängig und Vektorraum bedeuten sondern vielmehr nur den mechanismus gelernt wie man den Spaß mit Koordinatenvektoren berechnet. Es gibt nur wesentlich mehr als Koordinatenvektorräume Augenzwinkern

(wobei man im endlichdimensionalen den Spaß durch Isomorphie darauf reduzieren kann)

Was ist eine Basis ? Eine linear unabhängige Menge die den Vektorraum erzeugt.

Was ist linear Abhängig ? Definition hab ich hingeschrieben, ich habe dir gezeigt was es genau für Polynome heißt und auch zwei Beispiele von linear Unabhängigen Polynomen gegeben mitsamt Rechnung.

Du musst lediglich nur noch die Basis finden. Ich zeigs dir noch genauer:

Ein Allgemeines Polynom vom Grad n ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \end{eqnarray*}$

Jetzt wollen wir eine Basis $\begin{eqnarray*} B = \{B_1,....,B_m\} \end{eqnarray*}$ finden, so dass

$\begin{eqnarray*} p(x) = \lambda_0 B_1(x) + \lambda_1 B_2(x) + ... + \lambda_m B_m(x) \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} B_1,...,B_m \end{eqnarray*}$ sind auch Polynome , da die Basisvektoren natürlich auch zum Vektorraum gehören.

Schau dir nochmal ganz genau dass allgemeine Polynom

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \end{eqnarray*}$

hier steht die Basis doch eigentlich schon...

12.06.2013, 23:50

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Also was die Begriffe bedeuten das weiss ich zum größtenteil. Ich bin eher verwirrt mit der Darstellung der Mengenangabe.

Ist die Basis die Reihe der Polynome eventuell? Ohne die jeweiligen Koeffizienten.

13.06.2013, 02:34

JürgenHornseif

Auf diesen Beitrag antworten »

Es die Menge {1,x,x^2,x^3,...} schätze ich. Das ist aber leider nur doof geraten. Ich muss unbedingt wissen warum.

Hier ist jetzt noch als letztes gefragt das ich die Koeffizienten des Polynoms x -> (x+4)^4 Element IR_4[x] bzgl der Basis bestimmen soll. Ich schätze mal ich muss da einfach nur folgende Koeffizienten berechnen: a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4=(x+4)^4, wobei ai die gesuchten Koeffizienten sind. Ist a0 hier richtog oder soll das 1 sein ?

13.06.2013, 11:07

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es die Menge {1,x,x^2,x^3,...} schätze ich. Das ist aber leider nur doof geraten. Ich muss unbedingt wissen warum.

Naja, wenn man sich das allgemeine Polynom anschaut

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \end{eqnarray*}$

dann sieht man, dass es eine Linearkombination der Polynome 1,x,x^2,x^3,... ist. Steht ja direkt da. Schau Dir dazu nochmal an was eine Basis mit einer Linearkombination zu tun hat.
Man muss nur drauf schauen und wird schon von einer Basis angesprungen.

So, jetzt ist zu zeigen, dass

{1,x,x^2,x^3,...,x^n}

tatsächlich eine Basis ist.

Schritt I: Zeige dass die Vektoren linear Unabhängig sind (Beweis geht zum Beispiel durch vollständige Induktion)

Schritt II: Zeige, dass die Menge den Vektorraum erzeugt. Ist eigentlich trivial wenn man weiß was eine Linearkombination ist.

Neue Frage »

Antworten »

Vektorraum (Polynome)

Verwandte Themen