Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen

12.06.2013, 12:27

od30n

Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich versuchte schon gestern den ganzen Tag diese Aufgabe zu lösen irgendwie komme ich nicht weiter:

Aufgabe:

[attach]30533[/attach]

Das Signal soll zeitlich um einen Viertel seiner Periodendauer verzogert werden. Tragen Sie die sich ergebenden Phasenwinkel ( -pi < phi_k <= pi) in die freie Zeile der Tabelle ein.

Meine Ideen:
Also da es sich Ursprünglich um eine gerade Rechecktfunktion handeln sind die Phasen 0 und somit eine Reihe Cosinus Funktionen. Jetzt verschiebt man das ganze um Tp/4 wobei Tp=0.1ms

So habe mich mal die Funktion verschoben:

$\begin{eqnarray*} u(t)=U_{k}cos(kwt)<br /> =U_{k}cos(kw(t-t_{0})<br /> =U_{k}cos(kw(t-Tp/4)<br /> =U_{k}cos(kwt-k\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich phi_k = k(pi/2)

Und jetzt komme ich irgendwie nicht mehr weiter. Ich meine die Funktion ist jetzt ungerade geworden und dewegen haben wir Phaseverschiebungen. Aber wie sieht das Phasenspektrum aus? Ich habe echt keine Ahnung wie weiter machen...

DANKE!

12.06.2013, 14:38

Steffen Bühler

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RE: Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen

Zitat:

Original von od30n
Also da es sich Ursprünglich um eine gerade Rechecktfunktion handeln

Ist das so? Vom Amplitudenspektrum her sieht mir das eher nach einer Dreiecksfunktion aus, denn die Rechteckfunktion hat 1/3; 1/5; 1/7..., während hier 1/3²; 1/5²; 1/7²... steht.

Zitat:

Original von od30nsind die Phasen 0 und somit eine Reihe Cosinus Funktionen.

Beim Dreieck ist das in der Tat richtig (beim Rechteck alterniert's.)

Zitat:

Original von od30n
Ich meine die Funktion ist jetzt ungerade geworden und dewegen haben wir Phaseverschiebungen. Aber wie sieht das Phasenspektrum aus?

Wie hast Du denn das andere Spektrum berechnet? Mach's doch für die verschobene Funktion genauso!

Viele Grüße
Steffen

12.06.2013, 21:35

od30n

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RE: Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen
Hallo

Danke für deine Antwort!

Also ok, es ist eine Dreickfunktion. Dann sollte die Fourierreihe so aussehen:

$\begin{eqnarray*} u(t)=2+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{8*2}{\pi ^{2}*k^{2} } * cos(kwt) \end{eqnarray*}$

für k=1,3,5,...

Jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} A_{k}=\frac{8*2}{\pi^{2}*k^{2}} \end{eqnarray*}$
und somit $\begin{eqnarray*} C_{k}=\frac{4*2}{\pi^{2}*k^{2}} \end{eqnarray*}$

für k> und < 0

Die komplexe Fourier Reihe lautet

$\begin{eqnarray*} u(t)=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{4*2}{\pi^{2}*k^{2} } * e^{i*\frac{2*\pi *k*t}{T} } \end{eqnarray*}$

Für die Phase verwende ich das Argument von C_k in diesem Fall {0,....,0}

Und jetzt wie soll ich die neue Phase berechnen. Es ist so frustrierend, ich verstehe, oder ich habe das Gefühl ich verstehe um was es hier handelt, aber irgendwie mache ich einen Denkfehler oder simplen algebraischen Fehlüberlegung... smile

13.06.2013, 08:35

Steffen Bühler

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RE: Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen

Zitat:

Original von od30n
Also ok, es ist eine Dreickfunktion. Dann sollte die Fourierreihe so aussehen:

$\begin{eqnarray*} u(t)=2+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{8*2}{\pi ^{2}*k^{2} } * cos(kwt) \end{eqnarray*}$

für k=1,3,5,...

Richtig. Und meine Frage war ja, wie Du die berechnet hast. Berechne die Reihe der verschobenen Funktion auf dieselbe Weise.

Viele Grüße
Steffen

13.06.2013, 18:26

od30n

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RE: Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen
Ach. Gesehen...

$\begin{eqnarray*} c_{k} = \frac{4*2}{\pi ^{2} * k^{2} } * e^{i*k*\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

da

$\begin{eqnarray*} c_{k} = | c_{k} | * e^{i*\phi} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} c_{k} = \frac{4*2}{\pi ^{2} * k^{2} } * e^{i*k*\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} \phi=arg(c_{k}) \end{eqnarray*}$

Richtig?

Jetzt komme ich auf das Resultat. {0,pi/2,-pi/2,...}

Also mein Weg:

i. Fourierreihe ausfindig machen
ii. Phasenverschiebung implementieren
iii. Komplexe Koeff. berechnen
iv. Argument mit von Ck berechnen

Aber ich habe doch noch 2 Fragen:

- Wie kann am besten erkenne anhand der Amplituden die Originalfunktion erkennen?

- Gibt es einen schnelleren und einfachen Weg, die Phasenverschiebungswinkel zu erhalten? Ich meine an der Prüfung ohne TR ist es schwierig alles von Hand zu rechnen...

Danke und Gruss.

14.06.2013, 09:00

Steffen Bühler

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RE: Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen

Zitat:

Original von od30n
Richtig?

Jetzt komme ich auf das Resultat. {0,pi/2,-pi/2,...}

Richtig!

Zitat:

Original von od30n
- Wie kann am besten erkenne anhand der Amplituden die Originalfunktion erkennen?

Hm, das ist Übungssache. Dass der Rechteck mit 1/3; 1/5; 1/7... daherkommt und der Dreieck mit 1/3²; 1/5²; 1/7²..., kann man sich noch merken. Bei Sägezahn oder Parabel wüsste ich's schon nicht mehr auswendig. Da gibt's aber im Bronstein bestimmt eine Übersicht.

Aber es ist auch nicht nötig, das im Kopf zu haben, finde ich, hergeleitet ist's ja schnell. Mir ist eben nur aufgefallen, dass Deine Amplituden für einen Rechteck zu schnell kleiner werden und hab sie ins Verhältnis gesetzt.

Zitat:

Original von od30n
Gibt es einen schnelleren und einfachen Weg, die Phasenverschiebungswinkel zu erhalten?

Erwischt.

Es gibt in der Tat den Verschiebungssatz, der besagt: "wenn das Signal um t0 verschoben wird, verschiebt sich das Phasenspektrum um wt0". Damit bekomme ich aber nicht die alternierende Reihe beim Sinus hin! Ich hab mir lange den Kopf zerbrochen, aber kam nicht drauf - deshalb wollte ich das eigentlich nicht erwähnen. Aber vielleicht siehst Du ja, wie's geht.

Viele Grüße
Steffen

16.06.2013, 09:37

od30n

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RE: Phasenwinkel mit Amplitudespektrum bestimmen
Ok. Alles klar. Aber ich habe wenigstens jetzt das Resultat erhalten. Danke für deine Hilfe!!

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