Fundamentalmatrix für Skalarprodukt aufstellen

12.06.2013, 15:39	JayTex	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalmatrix für Skalarprodukt aufstellen $\begin{eqnarray} a)\ Bestimmen\ Sie\ alle\ Tripel \begin{pmatrix} \alpha, & \beta, & \gamma \end{pmatrix} \in \mathbb R^3,\ sodass\ die\ Matrix\ \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \beta \\ \alpha & 1 & \gamma \\ \beta & 0 & 4 \end{pmatrix}\ die\ Fundamentalmatrix\ eines\ Skalarproduktes\ auf\ \mathbb R^3 \ ist.\ b )\ Skizzieren\ Sie\ die\ Menge\ dieser\ moeglichen\ Tupel. \end{eqnarray}$ Ansatz: Da es sich bei einem Skalarprodukt um eine symmetrische Bilinearform handelt, muss die Matrix gleich ihrer Transponierten sein => $\begin{eqnarray} \gamma = 0 \end{eqnarray}$ . Als weitere Vorderung habe ich mir überlegt, dass für jeden Vektor ohne den Nullvektor das Skalarprodukt positiv sein muss. Leider fehlt mir hierbei aber der Ansatz, wie ich durch die Vektoren auf alpha und beta schliesen könnte. Beispielsweise sagt der Vektor (1, 1, 0) aus, dass 2 + 2alpha > 0 sein muss. Aber irgendwelche beliebigen Vektoren einzusetzen scheint mir nicht der Sinn der Aufgabe zu sein. Kann mir jemand einen Ansatz geben? Gruß, JayTex
12.06.2013, 16:02	JayTex	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Idee wäre noch, dass durch die positive Definitheit der Bilinearform folgt, dass die Determinante der Matrix größer 0 sein muss. Das würde zu $\begin{eqnarray} 4-4\alpha^2-\beta^2 > 0 \end{eqnarray}$ führen.
13.06.2013, 02:18	JayTex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah da gab es noch das Hauptminorenkriterium für positiv definit. Somit komme ich auf $\begin{eqnarray} det\|1\| = 1 > 0 , det\begin{vmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1\end{vmatrix} = 1 - \alpha^2 > 0 => \alpha \in (-1,1) \ und\ det \begin{vmatrix} 1 & \alpha & \beta \\ \alpha & 1 & 0 \\ \beta & 0 & 4\end{vmatrix} = 4 - 4\alpha^2 - \beta^2 > 0 => 4 - 4\alpha^2 < \beta^2 => \|\beta\| < 2 - 2\|\alpha\| => \beta \in (-(2-2\|\alpha\|), 2-2\|\alpha\|). \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Bin mir beim Wurzelziehen bei der Ungleichung ziemlich unsicher. Die Skizze der Menge müsste dann im 2D sein, da gamma konstant 0 ist. Die x-Achse (alpha) würde bei -1 und 1 geschnitten werden und die y-Achse (beta) bei -2 und 2. Wie die genaue Form zwischen den Punkten aussieht muss ich mir noch überlegen, oder einfach ein paar Zahlen einsetzen.

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