Grenzwert bestimmen - Problem

12.06.2013, 18:22	Jürgen212212	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen - Problem Meine Frage: Hey ich soll zu folgender Gleichung den Grenzwert bestimmen. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - e^{bx}}{ln(x+1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \neq b \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also zunächst hab ich es mal umgeformt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - e^{bx}}{ln(x+1)} <br /> <br /> = \frac{e^{ax}}{ln(x+1)} - \frac{e^{bx}}{ln(x+1)}<br /> <br /> = \frac{e^{x^{a}}}{ln(x+1)} - \frac{e^{x^{b}}}{ln(x+1)} \end{eqnarray}$ Das Problem ist folgendes. Laut mehrerer Grenzwertbestimmer sollte das Ergebnis a - b sein. Ich verstehe nur nicht wieso. Also wenn ich x gegen 0 gehen lasse, so geht der Wert im Nenner gegen 0, da ln(1) = 0 ist. Im Zähler geht $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ gegen 1 und $\begin{eqnarray} 1^{a} \end{eqnarray}$ bleibt doch 1 oder nicht? Gleiches wäre im Fall $\begin{eqnarray} 1^{b} \end{eqnarray}$ . Da der Nenner immer weiter gegen 0 geht und im Zähler eine 1 stehenbleibt würde das bedeutedn, dass beide Teile jeweils gegen unendlich gehen und letztendlich, das wir Teil 1 - Teil 2 haben würde es gegen 0 gehen. Das ist aber wohl nicht richtig. Wie soll es gegen a - b gehen?
12.06.2013, 18:36	Tom92	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ist $\begin{eqnarray} e^{2\cdot 3}=e^{3^{2}} \end{eqnarray}$ ? Deine letzte Umformung stimmt nicht. Es sei denn du würdest geeignete Klammern setzen. Würde aber auch nicht weiter helfen! Kennst du die L'Hospitalschen Regeln? Gruß Tom Zu deinen weiteren Überlegungen: Die beiden Einzelbrüche haben in der Tat keinen Grenzwert in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Du musst den Term zusammen lassen.
12.06.2013, 18:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst Du darauf, dass $\begin{eqnarray} \infty - \infty=0 \end{eqnarray}$ ? Wenn das immer so wäre, würden z.B. die Funktionen $\begin{eqnarray} f(x)=x-x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=x^2-x \end{eqnarray}$ denselben Grenzwert (nämlich 0 ) haben. Abgesehen davon würde ich dir den Satz von L'Hospital ans Herz legen
12.06.2013, 18:40	jürgen21212	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ja sorry da smit den Klammern wollte bei Latex nicht so wirklcih, daher hatte ich es so gemacht. ja mit den L'Hospitalschen Regeln kann ich den Grenzwert folgendermaßen bestimmen. Ich nehme von beiden (Nenner und Zähler) die Ableitung und schaue, ob ich daraus was schließen kann. Sonst nehme ich wieder die Abbleitungen beider Teile und schaue wieder nach. Ist das so richtig? Und wie hilft es mir denn weiter? Ich mein die Lösung "a-b" stimmt ja vermutlich oder?
12.06.2013, 18:46	Tom92	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du L'hospital kennst, dann wende es doch an. Dann siehst du, ob die Lösung stimmt. Und noch ein Tipp: Denke erst eine zeitlang über ein Problem nach, bevor du Hilfsmittel, wie einen "Grenzwertbestimmer" benutzt. Dann lernt man mehr und das Erfolgserlebnis ist größer. Nichts für ungut. Tom
12.06.2013, 19:22	jürgen212122	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das half mir sehr weiter. Ich fasse mal zusammen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{ln(1 + x)} \end{eqnarray}$ Dann wende ich den L'Hospital an, da ich zunächst nicht viel Information entnehmen kann: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} \frac{a e^{ax}-b * e^{bx}}{\frac{1}{x + 1} } \end{eqnarray}$ Das ist gleich zu dem: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} \frac{(a * e^{ax}-b * e^{bx}) * (x + 1)}{1} \end{eqnarray}$ Nun schauen wir und x gegen 0 an. Der Nenner ist ja Trivial, der belibt 1. Der Zähler können wir jetzt leicht bestimmen. $\begin{eqnarray} e^{a0} = e^{0} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1 + 0) = 1 \end{eqnarray}$ Also kommt folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{a * 1 - b * 1 * 1}{1} \end{eqnarray*}$ Und das ist ja zweifelsohne a - b
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