Normäquivalenz in einem Funktionenraum

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Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »
Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Meine Frage:
Hallo,

ich befinde mich im Raum (Raum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen) versehen mit der Norm . Ich möchte zeigen, dass diese Norm äquivalent zu der Norm ist.

Als Hinweis wurde uns angegeben, dass wir den Ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwenden sollen.

Meine Ideen:
Ich muss zeigen, dass zwei Konstanten existieren, sodass gilt.

Ich weiß nicht, wofür ich den HS der DIR benötige. Beide Normen enthalten den Term . Interessant ist also jeweils der andere Term. Es gilt: .

Ich rudere direkt mal zurück. Das Problem ist hier wohl die untere Schranke. Ich darf nicht als Konstante wählen, da diese ja positiv sein muss.

Jetzt fällt mir aber nicht ein, wie ich anderweitig eine Konstante finden kann. Die muss ja für alle gelten.

Jemand eine Idee?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Als erstes sollte klar sein.
Wie kannst du nun für darstellen?
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Zitat:
Original von Che Netzer
Als erstes sollte klar sein.
Wie kannst du nun für darstellen?


Hi Wink ,

ja, das Erste ist klar. Wie kann ich für darstellen ... Hm, ist es , auf das du hinaus willst? Falls ja, wie hilft mir das? Die Konstante darf ja nicht von abhängen, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Nein, darauf wollte ich nicht hinaus.
Zumal nicht definiert wurde.

Benutze stattdessen den bereits erwähnten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Zitat:
Original von Che Netzer
Benutze stattdessen den bereits erwähnten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.


Und wie? Der Hauptsatz lautet:
,

Wie kann mir das nützen?
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Zitat:
Original von Umsonst
Wie kann mir das nützen?


Ich sehe es wirklich nicht. Vor allem sehe ich nicht, wie ich über diesen Weg eine von unabhängige, positive Konstante finden soll ... verwirrt
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Vergiss die Stammfunktion von .
In dieser Aufgabe geht es um und .
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Zitat:
Original von Che Netzer
Vergiss die Stammfunktion von .
In dieser Aufgabe geht es um und .


Dann eben:


Ändert nichts an meiner Frage.
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, für den Doppelpost.

Ich meine, ich könnte jetzt natürlich noch was mit dem Mittelwertsatz machen und das ganze nach umstellen, aber muss denn die Konstante nicht unabhängig von sein? Sonst wäre es ja keine Konstante mehr ...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Wieso integrierst du denn unbedingt von Null bis Eins?
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Zitat:
Original von Che Netzer
Wieso integrierst du denn unbedingt von Null bis Eins?


Weil so der HS der DIR lautet:
Sei stetig und eine Stammfunktion, dann ist


In meinem Fall gilt . Was mache ich deiner Meinung nach falsch?

LG
Umsonst
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Du brauchst aber nicht und zu betrachten.
Schränke doch auf ein...
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normäquivalenz in einem Funktionenraum
Zitat:
Original von Che Netzer
Du brauchst aber nicht und zu betrachten.
Schränke doch auf ein...


Ok, dann muss aber gelten, oder? Andernfalls würde ich ja nicht mehr genau die Funktion betrachten, die ich betrachten soll ... Vielleicht könntest du dazu was sagen, wäre super.

Ich betrachte also . Nach dem HS d. DIR gilt: . Also: ... und nun?
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe wirklich nicht, wie mir das hier nutzen kann. Niemand einen Rat?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt schätze den Betrag von

nach oben ab – mithilfe von Dreiecksungleichung, und der Supremumsnorm .
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Mal kurz eine andere Frage: Um den Hauptsatz anwenden zu können muss die betrachtete Funktion ja stetig sein. Ist denn überhaupt stetig? Das muss ja nicht so sein, nur weil stetig ist.
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Abschätzung gilt:


Mit würde weiterhin folgen:


Doch:
  1. Wieso existiert das Supremum und warum kann es nie unendlich sein?
  2. Ist damit die Normäquivalenz gezeigt? Muss nicht eine Konstante gefunden werden, die nicht von abhängt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn definiert?
Und deine Definition von ist nutzlos; du brauchst das Maximum des Betrags (der Werte der Ableitung).
Wie lautet dann die vollständige Abschätzung von ?


Noch ist die Normäquivalenz natürlich nicht gezeigt.
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

(1)
Zitat:
Original von Che Netzer
deine Definition von ist nutzlos

Sry, ich habe die Betragsstrichte vergessen.


(2)
Zitat:
Original von Che Netzer
Wie lautet dann die vollständige Abschätzung von ?

Sie lautet:


(3)
Zitat:
Original von Che Netzer
Wie ist denn definiert?

Als Menge aller 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen die auf abbilden. Heißt aber nicht automatisch, dass deren Ableitung auch stetig ist, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Umsonst
Heißt aber nicht automatisch, dass deren Ableitung auch stetig ist, oder?


Ohne mich weiter hier einmischen zu wollen, kann ich diese kleine Frage klären.
Doch, genau das heißt es: stetige Differenzierbarkeit bedeutet Stetigkeit der Ableitung. Ansonsten wäre der Zusatz "stetig" ja nicht besonders sinnvoll, denn aus Differenzierbarkeit folgt bekanntlich Stetigkeit.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses ist nun aber gerade .
Jetzt hast du also

Und zwar gilt das für beliebiges .
Nun bilde mal das Supremum über alle .
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Nun bilde mal das Supremum über alle .


Von was? Von ? Das wäre dann wohl
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Welche Abschätzung erhältst du damit für ?
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Welche Abschätzung erhältst du damit für ?


Ich würde sagen
\|f\|_\infty=\sup_{x\in [0,1]} \left|f(x)\right|\le \sup_{x\in [0,1]} \left( \lVert f'\rVert_\infty+\lvert f(0)\rvert\,\right) = \lVert f'\rVert_\infty+\lvert f(0)\rvert\,
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt.
Kannst du jetzt ein finden, so dass
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Ja, das stimmt.
Kannst du jetzt ein finden, so dass


Ehrlich gesagt: Nein. Kannst du mich aufklären? Daran scheitere ich im Wesentlichen schon die ganze Zeit ...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings weißt du schon, dass

Also

Hast du jetzt eine Idee?
Umsonst Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Allerdings weißt du schon, dass

Also

Hast du jetzt eine Idee?


Ja, sry. Da hab ich zu hastig geantwortet. Dann sollte das für passen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

In welche Abschätzung würde dein denn vorkommen?
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