Vektorraum und Basis

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12.06.2013, 20:01	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum und Basis Es sei V ein Vektorraum und $\begin{eqnarray} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \{w_1,...,w_n\} \end{eqnarray}$ jeweils eine Basis von V. Beweisen oder widerlegen Sie: a) $\begin{eqnarray} \{b_1+w_1,b_2+w_2,...,b_n+w_n\} \end{eqnarray}$ ist eine Basis von V b)Sei $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ Es gibt ein $\begin{eqnarray} k \in \{2,...,n\} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} b_1,...b_{k-1},w_k,...,w_n \end{eqnarray}$ eine Basis von V ist. a) Nach Voraussetzung gilt: $\begin{eqnarray} \alpha_1b_1+...+\alpha_nb_n=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_1=...=\alpha_n=0 \end{eqnarray}$ ist die einzige Lösung $\begin{eqnarray} \beta_1w_1+...+\beta_nw_n=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta_1=...=\beta_n=0 \end{eqnarray}$ ist die einzige Lösung Mir fehlt nun der Schritt um auf diese Gleichung zu kommen: $\begin{eqnarray} \gamma_1(b_1+w_1)+...+\gamma_n(b_n+w_n)=0 \end{eqnarray}$ Ist der Ansatz so richtig? Oder gibts es einen anderen Weg?
12.06.2013, 20:25	mathe_frager3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum und Basis Ich glaube a) musst du widerlegen. Überleg dir mal ein Beispiel mit $\begin{eqnarray} V = \mathbb R \end{eqnarray}$ .
12.06.2013, 20:41	mathe_frager3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum und Basis Noch ein weiter Tipp. $\begin{eqnarray} dim(V) = n = 1 \end{eqnarray}$ in dem Fall. Betrachte mal die beiden Basen gegeben durch $\begin{eqnarray} b_1 = -1 \end{eqnarray}$ und gegeben durch $\begin{eqnarray} w_1 = 1 \end{eqnarray}$ .
13.06.2013, 11:15	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum und Basis Ah du meinst also : $\begin{eqnarray} b_n = - w_n \end{eqnarray}$ Dann ist die Summe der einzelnen Folgeglieder $\begin{eqnarray} b_1+w_1,...,b_n+w_n \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ Daraus ist die zufolgern, dass $\begin{eqnarray} \gamma_1 =...=\gamma_n= 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \gamma_1(b_1+w_1)+...+\gamma_n(b_n+w_n)=0 \end{eqnarray}$ nicht die einzige Lösung ist?
14.06.2013, 10:15	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum und Basis Könnte mir hier nochmal jemand helfen?
14.06.2013, 13:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Du musst nichts weiter folgern. {0} kann nicht die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums sein, wenn n>0. Das Erzeugnis von 0 ist {0}. zu b) So wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie falsch ( Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} w_1=b_2,w_2=b_1 \end{eqnarray}$ ). Ich vermute, dass $\begin{eqnarray} \{b_1,...,b_{k-1}\} \end{eqnarray}$ sich durch n-k+1 Vektoren aus $\begin{eqnarray} \{w_1,...,w_n\} \end{eqnarray}$ zu einer Basis von V ergänzen lässt. Das wäre "dieselbe" Aufgabe mit geeigneter Umnummerierung der w-Basis.
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14.06.2013, 14:14	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay gut! b) Das mit deinem Gegenbeispiel verstehe ich nicht so ganz! Also warum diese Aufgabenstellung nicht richtig ist. Sei k= 2, dann ist die Basis $\begin{eqnarray} b_1,w_2,...,w_n \end{eqnarray}$ . Was genau ist hier nun falsch?
14.06.2013, 14:19	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier könnte nun passieren, dass w_2 = b_1? Wie würde deine Basis nach deiner Korrektur nun aussehen?
14.06.2013, 18:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In meinem Gegenbeispiel ist $\begin{eqnarray} \{b_1,w_2\}=\{b_1,b_1\}=\{b_1\} \end{eqnarray}$ offensichtlich nur ein Vektor, also keine Basis von $\begin{eqnarray} V=<\{b_1,b_2\}> \end{eqnarray}$ . Andererseits ist nach Umnummerierung $\begin{eqnarray} V=<\{b_1,b_2\}>=<\{w_1,w_2\}>=<\{w_2,w_1\}>=<\{b_1,w_1\}> \end{eqnarray}$ , also die Basis $\begin{eqnarray} \{b_1\} \end{eqnarray}$ eines UVR von V ergänzt durch einen Basisvektor $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ .
16.06.2013, 09:51	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah jetzt versteh ich, und wie lös ich die Aufgabe nun? Ich weiß da jetzt nicht mehr wirklich einen Ansatz...
16.06.2013, 11:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Ansatz habe ich in meinen beiden letzten Antworten schon gegeben. Das Stichwort lautet "Basisergänzungssatz". Man nimmt $\begin{eqnarray} b_1,...,b_{k-1} \end{eqnarray}$ als Basis eines UVR von V und ergänzt mit $\begin{eqnarray} n-k+1 \end{eqnarray}$ geeigneten Basisvektoren aus $\begin{eqnarray} \{w1,...,w_n\} \end{eqnarray}$ zu einer Basis von V. Du musst nur noch überlegen, begründen, beweisen warum in $\begin{eqnarray} \{w1,...,w_n\} \end{eqnarray}$ jeweils ein Vektor enthalten ist, der in V aber nicht in einem echten UVR von V enthalten ist.
16.06.2013, 12:16	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich mach mir mal Gedanken! Danke für deine Antworten!
16.06.2013, 13:02	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch die Umnummerierung erreichen wir nun eine neue Basis von V $\begin{eqnarray} b_1,b_2,...,b_k,w_{k+1},...,w_n \end{eqnarray}$ Und es gilt: $\begin{eqnarray} dim(V)=n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \leq n \end{eqnarray}$ Und der Beweis erfolgt per Induktion: IA: Sei k=2, dann haben wir $\begin{eqnarray} b_1,b_2,w_{3},...,w_n \end{eqnarray}$ ist klar. IV: Der Austausch ist für alle k-1 möglich IS: Der Austausch ist für alle $\begin{eqnarray} k \leq 2 \end{eqnarray}$ möglich. Also können wir die linear unabh. Vektoren $\begin{eqnarray} b_1,...,b_{k-1} \end{eqnarray}$ zu einer Basis der Form $\begin{eqnarray} b_1,...,b_{k-1},w_k,...,w_n \end{eqnarray}$ von V ergänzen und $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ so darstellen: $\begin{eqnarray} a_1b_1+...+a_{k-1}b_{k-1}+a_kb_k+...+a_nb_n \end{eqnarray}$ Hier können $\begin{eqnarray} a_k,...,a_n \end{eqnarray}$ nicht alle = 0 sein, da $\begin{eqnarray} b_1,...,b_r \end{eqnarray}$ sonst linear abh. wären. Und mit dem Austauschlemma können wir den Vekotr $\begin{eqnarray} w_k \end{eqnarray}$ mit dem Vektor $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ austauschen. dann folgt: $\begin{eqnarray} b_1,...,b_k,w_{k+1},...,w_n \end{eqnarray}$ ist eine Basis von V. Passt es so?

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