Stammfunktion von ln(cos(x))

12.06.2013, 21:51	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion von ln(cos(x)) Diese Herleitung des Integrals oder besser gesagt der Stammfunktion von ln(cos(x)) habe ich gerade auf meiner Festplatte gefunden. Ich dachte, ich poste sie mal hier rein, da es ja vielleicht jemanden interessieren könnte. Sie benutzt den Polylogarithmus: $\begin{eqnarray} <br /> \textrm{Li}_{n}\!(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{n}}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \textrm{Li}^{'}_{n}\!(v(x))=\frac{v^{'}(x)}{v(x)} \textrm{Li}_{n-1}\!(v(x))<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \textrm{Li}_{n-1}\!(v(x))=\frac{v(x)}{v^{'}(x)} \textrm{Li}^{'}_{n}\!(v(x))<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \textrm{Li}_{n-1}\!(-e^{2ix})=-\frac{i}{2} \textrm{Li}^{'}_{n}\!(-e^{2ix})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \int \! \textrm{Li}_{n-1}\!(-e^{2ix}) \: dx = -\frac{i}{2} \textrm{Li}_{n}\!(-e^{2ix})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \cdot \frac{2}{e^{ix}+e^{-ix}}=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}=-i\frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1}=-i\frac{e^{2ix}+1-2}{e^{2ix}+1}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> =-i\left(1-\frac{2}{e^{2ix}+1} \right )=i\left(\frac{2}{e^{2ix}+1}-1 \right )=i\left(2 \cdot \frac{1}{1-\left(-e^{2ix} \right )} -1\right )<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \forall \; x \; \epsilon \; \mathbb{R} : \left \| -e^{2ix} \right \| = 1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \tan(x)=i\left(2\sum_{k=0}^{\infty} \left(-e^{2ix} \right )^{k} -1\right )=i\left(2\sum_{k=1}^{\infty} \left(-e^{2ix} \right )^{k} +1\right )=2i\textrm{Li}_{0}\!(-e^{2ix})+i<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> x\tan(x)=ix+2ix\textrm{Li}_{0}\!(-e^{2ix})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> f^{'}(x)=\textrm{Li}_{0}\!(-e^{2ix}) \; \; \; f(x)=-\frac{i}{2} \textrm{Li}_{1}\!(-e^{2ix}) \; \; \; g(x)=x \; \; \; g^{'}(x)=1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \int \!x\textrm{Li}_{0}\!(-e^{2ix}) \: dx=-\frac{ix}{2}\textrm{Li}_{1}\!(-e^{2ix})+\frac{i}{2}\int \! \textrm{Li}_{1}\!(-e^{2ix}) \: dx=-\frac{ix}{2}\textrm{Li}_{1}\!(-e^{2ix})+\frac{1}{4}\textrm{Li}_{2}\!(-e^{2ix})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \int \! x\tan(x) \: dx=\int \! ix+2ix\textrm{Li}_{0}\!(-e^{2ix}) \: dx=\frac{ix^{2}}{2}+2i\int \!x\textrm{Li}_{0}\!(-e^{2ix}) \: dx=\frac{ix^{2}}{2}+2i\left( -\frac{ix}{2}\textrm{Li}_{1}\!(-e^{2ix})+\frac{1}{4}\textrm{Li}_{2}\!(-e^{2ix}) \right)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> =\frac{ix^{2}}{2}+x\textrm{Li}_{1}\!(-e^{2ix})+\frac{i\textrm{Li}_{2}\!(-e^{2ix})}{2}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> f^{'}(x)=1 \; \; \; f(x)=x \; \; \; g(x)=\ln(\cos(x)) \; \; \; g^{'}(x)=-\tan(x)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \int \! \ln(\cos(x)) \: dx=x\ln(\cos(x))+\int \! x\tan(x) \: dx=x\ln(\cos(x))+\frac{ix^{2}}{2}+x\textrm{Li}_{1}\!(-e^{2ix})+\frac{i\textrm{Li}_{2}\!(-e^{2ix})}{2} + C<br /> \end{eqnarray}$ ...Und nervt nicht mit fehlenden Integrationskonstanten!

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