Ringisomorphismus

12.06.2013, 22:05

Theend9219

Ringisomorphismus

Hallo,
folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (a) \mathbb Z[i]/(1+2i) \tilde = \mathbb Z_{5} \end{eqnarray*}$ (Ringisomorphismus)
(b) $\begin{eqnarray*} 1+2i \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$

Wie geh ich an diese Aufgabe heran??

Liebe Grüüße

12.06.2013, 22:18

Theend9219

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RE: Ringisomorphismus
Ich muss ja zeigen das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]/(1+2i) \rightarrow \mathbb Z_{5} \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung ist, oder?

12.06.2013, 22:24

Captain Kirk

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Zitat:

Ich muss ja zeigen das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i]/(1+2i) \rightarrow \mathbb Z_{5} \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung ist, oder?

Da steht keine Abbildung. Hast du die Abbildungsvorschrift vergessen?

Eine Abb. von einem Quotientenobjekt heraus sollte man immer mittels Homomorphiesatz angehen:
Suche also eine surj. Abb $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \mathbb Z / 5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit Kern 1+2i.
Bedenke, dass 5 gerade die Norm von 1+2i ist.

b) Def. von Primideal nochmal genau anschauen.

12.06.2013, 22:38

Theend9219

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Hey du,

ne eine Abbildungsvorschrift war nicht angegeben

b) Kann man hier so rangehen?

Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N(z) =p \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, dann ist $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Primelement in $\begin{eqnarray*} Z[i] \end{eqnarray*}$ .
Beweis:
Ist $\begin{eqnarray*} z = ab \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} p = N(z) = N(a)N(b) \end{eqnarray*}$ . Nach Vorraussetzung ist p eine Primzahl. Dies impliziert $\begin{eqnarray*} N(a) = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N(b) = 1 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eine Einheit sind ist $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ irreduzibel und es folgt, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Primelementt in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ ist.

Also kann man sagen
$\begin{eqnarray*} N(1+2i)= N(1-2i) =2 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} 2 = (1+2i)(1-2i) \end{eqnarray*}$ ist eine Primelementzerlegung von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$

so?

lg

12.06.2013, 22:52

Captain Kirk

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Zitat:

Also kann man sagen
$\begin{eqnarray*} N(1+2i)= N(1-2i) =2 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} 2 = (1+2i)(1-2i) \end{eqnarray*}$ ist eine Primelementzerlegung von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$

Kann man. Es ist halt falsch. Lies meinen letzten Post nochmal, da steht wo hier der Fehler ist.
Wozu brauchst du diese Zerlegung überhaupt?
Der Rest ist o.k. Wobei du nicht erwähnst was diese rechnung überhaupt bezwecken soll.

Ein Beweis von b) ist vollständig ohne Rechnung möglich. Es folgt aus a) mit einer zentralen Eigenschaft voon Primidealen und einer Eigenschaft des Ringes $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ (die du hier auch schon ausgenutzt hast).

12.06.2013, 23:01

Theend9219

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Danke für deine Antwort ...
Also Wikipedia sagt ja zum Homomorphiesatz folgendes:
Ist $\begin{eqnarray*} f: R \rightarrow S \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorph. dann ist der Kern Ker(f) ein Ideal von R und der Faktorring $\begin{eqnarray*} R/kern(f) \end{eqnarray*}$ ist isomorph zum Bild im(f).
Der Beweis verläuft analog zum Beweis für Gruppen, es muss nur noch gezeigt werden
$\begin{eqnarray*} \tilde f (aN \cdot bN) = \tilde f ((a \cdot b) N ) = f(a\cdot b) = f(a). \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht wie mir das jetzt hier weiterhilft.
Ich könnte halt nur einsetzen kern = $\begin{eqnarray*} 1+2i \end{eqnarray*}$

12.06.2013, 23:18

Captain Kirk

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Korrektur meiner Tippfehler zur besseren Verständlichkeit:

Zitat:

Suche also eine surj. Abb $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \to \mathbb Z / 5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit Kern (1+2i).

Das finden von Homomorphismen ist ähnlich wie das Abschätzen oder das Finden von Gegenbeispielen etwas wofür man "Auge" braucht. Das kann man nur trainieren indem man rumprobiert.
Also Probieren und schauen was du als Kandidaten findest.

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