Primideal (a) teilt (3), da N(a)=3

13.06.2013, 00:23	klickin	Auf diesen Beitrag antworten »
Primideal (a) teilt (3), da N(a)=3 Hallo, ich bin bei der Vorbereitung für einen Vortrag über des Satz von Fermat (n=3) über diese Aussage gestoßen die ich nicht wirklich beweisen kann, obwohl ich denke das dies nicht all zu schwer seien sollte. Man weis, dass die Norm $\begin{eqnarray} N(a)=3 \end{eqnarray}$ , daraus soll folgen $\begin{eqnarray} $(a)\|(3)$ \end{eqnarray}$ . Ich hoffe mir kann vielleicht jemand einen Tipp geben warum das so ist
13.06.2013, 07:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo bewegen wir uns denn? Im Ring der ganzen Zahlen eines Zahlkörpers? Denke dran, dass dort gilt: $\begin{eqnarray} N(a) = a \prod_{\sigma \neq id} \sigma(a) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \sigma(a) \end{eqnarray}$ die Konjugierten sind. Was genau ist mit $\begin{eqnarray} (a) \| (3) \end{eqnarray}$ gemeint? $\begin{eqnarray} a \| 3 \end{eqnarray}$ ist ja eher äquivalent zu $\begin{eqnarray} (3) \subset (a) \end{eqnarray}$ .
13.06.2013, 09:22	klickin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und danke für deine Antwort, genau genommen befinden wir uns im Ring über dem Körper $\begin{eqnarray} K=\mathbb{Q} (\sqrt(-3))=\mathbb{Q} (\zeta_3) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \zeta_3 \end{eqnarray}$ die Dritte Einheitswurzel. Desweiteren sei $\begin{eqnarray} \zeta_3 =\frac{-1+\sqrt(-3)}{2} \end{eqnarray}$ und setzte $\begin{eqnarray} \lambda =1-\zeta =\frac{3-\sqrt(-3)}{2} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist dann der Beweis: Es gilt $\begin{eqnarray} \mathfrak{ p } = (3) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathfrak{ p }=(\lambda) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} (3),(\lambda) \end{eqnarray}$ die von $\begin{eqnarray} \lambda ,a \end{eqnarray}$ erzeugten Ideale. Beweis: Man bemerkt, dass wegen $\begin{eqnarray} N(\lambda)=3 \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} (\lambda) \end{eqnarray}$ Primideal ist. (Bis hierhin alles ok) Und $\begin{eqnarray} (3) \end{eqnarray}$ teilt. (Das ist der Punkt den ich nicht nachvollziehen kann) Danach geht der Beweis noch etwas weiter... ist aus Einführung in die Zahlentheorie von Alexander Schmidt
13.06.2013, 09:28	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein bisschen wirr. Es ist also $\begin{eqnarray} (\lambda) = (3) \end{eqnarray}$ zu zeigen? Dazu braucht man zwei Dinge: 1. Sie haben die selbe Norm 2. Ihr Quotient ist ganz. 1. ist klar und 2. folgt eben aus der Formel für die Norm, die ich schon erwähnt habe... Ehm stop, das ist natürlich Quatsch. 3 hat ja Norm 9. Die Ideale sind natürlich nicht gleich, es gilt nur eine Inklusion. Aber warum benutzt du dann für beide die Bezeichung $\begin{eqnarray} \mathfrak p \end{eqnarray}$ ?
13.06.2013, 09:40	klickin	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man tut mir wirklich leid, zu beweisen ist $\begin{eqnarray} \mathfrak{p}^2=(3) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathfrak{p}=(\lambda) \end{eqnarray}$
13.06.2013, 09:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt macht es Sinn. Wie gesagt: Betrachte die Formel für die Norm, die ich schon geposted habe. Daraus folgt das eigentlich alles direkt.
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13.06.2013, 10:32	klickin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also klar ist mir dass $\begin{eqnarray} N(\lambda)=3 \end{eqnarray}$ gilt dies lässt sich ja direkt aus der Formel für die Norm berechnen. Da dies eine Primzahl ist ist $\begin{eqnarray} (\lambda) \end{eqnarray}$ ein Primideal. Was ich eben nicht verstehe ist warum auch gilt $\begin{eqnarray} (\lambda)\|(3) \end{eqnarray}$ . Damit dies gilt muss ja gelten $\begin{eqnarray} (3) \subseteq (\lambda) \end{eqnarray}$ bzw. es muss $\begin{eqnarray} \mathfrak{c} \end{eqnarray}$ existieren mit $\begin{eqnarray} (\lambda) \mathfrak{c} = (3) \end{eqnarray}$ . Aber wie hängt das mit der Norm zusammen?
13.06.2013, 17:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch $\begin{eqnarray} 3 = N(\lambda) = \lambda \cdot \sigma(\lambda) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ die komplexe Konjugation ist. Mehr kann ich dir echt nicht sagen. Weil es wirklich nur noch eine Trivialität ist.

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