Verschoben! Gleichung durch Wurzelziehen umformen

13.06.2013, 03:02

OkMathe

Gleichung durch Wurzelziehen umformen

Hallo

ich hoffe die Frage klingt nicht dumm, aber was ist x^2 = 4, wenn man die Wurzel zieht?

Ist x = 2 oder x = -2 ?

Ich stelle diese Frage, weil ich momentan sehr durcheinander bin, weil im I-Net las ich Sachen vonwegen die Wurzel einer Zahl ist stets positiv und hat genau eine Lösung oder sowas in der art.
Aus der Schule kenne ich das aber nur so, dass immer 2 Lösungen rauskommen, einmal 2 und einmal -2. Dann haben wir immer geschrieben: x = 2 v(oder) x = -2

13.06.2013, 07:07

Theend9219

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RE: Eine Frage zu Wurzelziehen
Hallo, die Lösung von x^2 =4 ist x= 2 und x = -2. Du darfst nur nicht aus einer negatien Zahl eine Wurzel ziehen.

LG

13.06.2013, 07:55

Bürgi

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RE: Eine Frage zu Wurzelziehen
Guten Morgen,

Deine Frage ist nicht dumm, sondern im Gegenteil äußerst kompliziert. Und im Übrigen ist Deine Antwort

Zitat:

... x = 2 oder x = -2

völlig richtig. (Es darf vor allem nicht x = 2 und x = -2 heißen, da x nicht gleichzeitig +2 und -2 sein kann)

Wenn wir die Frage in ihre Bestandteile zerlegen, möchtest Du wissen

was ist der Wert einer Quadratwurzel
was sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung

Laut Definition ist der Wert einer Quadratwurzel eine nicht-negative Zahl (das ist etwas anderes als eine stets positive Zahl!). In Deinem Fall gilt also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$
Wenn die Quadratwurzel aus einem Term berechnet werden soll, muss man den Betrag nehmen, um sicher zu stellen, dass das Ergebnis einen nicht-negativen Wert erhält.
In Deinem Beispiel gilt also
$\begin{eqnarray*} {\color{red}{\sqrt{x^2} = |x|}} \end{eqnarray*}$ ......... $\begin{eqnarray*} \color{red}\leftarrow \text{korrigierte Fassung. \color{black}Danke mYthos} \end{eqnarray*}$
Da Du beim Lösen einer Gleichung aber wissen möchtest, wie groß x ist, muss aus |x| dieser Wert von x berechnet werden. Laut Definition gilt
$\begin{eqnarray*} |x| = \left \lbrace\begin{array}{rcl}x&,&x \ge 0 \\ -x&,&x<0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$
Und hier kommen jetzt die von Dir angeführten Lösungen der Gleichung zum Vorschein.
Dein Beispiel in voller Länge:
$\begin{eqnarray*} x^2 = 4 ~ \implies ~ |x|=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x| = 2~\implies~\left \lbrace\begin{array}{rcl}x=2&,&x \ge 0 \\ -x=2&,&x<0\end{array}\right.~\implies~\left \lbrace\begin{array}{l}x=2 \\ x=-2 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Ich bitte um Entschuldigung, dass ich Dich so zugetextet habe, aber eine solch schwierige Frage kann man nicht viel einfacher beantworten. Ich hoffe nur, dass ich Dir ein bisschen weiterhelfen konnte.

13.06.2013, 08:12

Kasen75

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Hallo,

meine Kurzerklärung:

Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist immer positiv.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$

Ware $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=-2 \end{eqnarray*}$ , dann ist es nicht klar was mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Ein Zahlenwert muss immer eindeutig sein.

Dagegen ist die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} x_1=2 \ \textcolor{red}{\vee} \ x_2=-2 \end{eqnarray*}$ , da beide Werte die Gleichung erfüllen. Eine Variable kann verschiedene Werte annehmen.

Korrigiert (rot). Danke Bürgi.

Grüße.

13.06.2013, 08:20

Bürgi

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@Kasen75

Hallo,

ich möchte nicht zu kleinlich erscheinen, aber hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1=2 \wedge x_2=-2 \end{eqnarray*}$

ist Dir ein Schreibfehler unterlaufen. Korrekt muss es heißen

$\begin{eqnarray*} x_1=2 \vee x_2=-2 \end{eqnarray*}$

13.06.2013, 08:43

OkMathe

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RE: Eine Frage zu Wurzelziehen
Danke soweit.
Aber was ist denn mit diesen 2 Fällen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} } \end{eqnarray*}$

und:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x}) ^{2} \end{eqnarray*}$

?

13.06.2013, 08:45

OkMathe

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RE: Eine Frage zu Wurzelziehen
@Bürgi, deine Erklärung ist sehr gut nachvollziehbar danke. Aber auch die anderen danke.

13.06.2013, 13:17

mYthos

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RE: Eine Frage zu Wurzelziehen

Zitat:

Original von Bürgi
...
In Deinem Beispiel gilt also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = |x| \end{eqnarray*}$
...

Das ist mir unklar.

mY+

13.06.2013, 15:11

Bürgi

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RE: Eine Frage zu Wurzelziehen
@mYthos

... das ist nicht unklar, das ist falsch.

Die Originalgleichung von OkMathe hieß x² = 4.

Leider ist mir beim Tippen der Exponent abhanden gekommen. Richtig muss es heißen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

Danke für den Hinweis. Ich werde meine Antwort korrigieren.

13.06.2013, 15:57

Grautvornix

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RE: Gleichung durch Wurzelziehen umformen

Zitat:

Original von OkMathe
Hallo

ich hoffe die Frage klingt nicht dumm, aber was ist x^2 = 4, wenn man die Wurzel zieht?

Das Radizieren ist übrigens nicht unbedingt nötig, wenn man sich an die binom. Formeln erinnert:

$\begin{eqnarray*} x^2=4\Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow (x-2)(x+2)=0 \end{eqnarray*}$

Und da lassen sich die Lösungen einfach ablesen.

13.06.2013, 16:56

Kasen75

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RE: Gleichung durch Wurzelziehen umformen

Zitat:

Original von Grautvornix

Das Radizieren ist übrigens nicht unbedingt nötig, wenn man sich an die binom. Formeln erinnert:

$\begin{eqnarray*} x^2=4\Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow (x-2)(x+2)=0 \end{eqnarray*}$

Und da lassen sich die Lösungen einfach ablesen.

Dafür muss man aber wissen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 4 =2 \end{eqnarray*}$ ist. Man muss dann doch irgendwie die Wurzel ziehen.

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