Naive Mengenlehre (Kardinalzahlen)

13.06.2013, 08:46	Psix	Auf diesen Beitrag antworten »
Naive Mengenlehre (Kardinalzahlen) Hallo! Ich habe große Schwierigkeiten die Kardinalzahlen verstehen zu können. In nächster Zeit muss ich anhand eines wissenschaftlichen Textes die Kadinalzahlen vorstellen. Ich gehe absatzweise den Text durch und habe sogut wie zu jedem Satz eine Verständnisfragen. Ich muss dazu sagen, dass die Ordinalzahlen auch nicht ganz sicher sitzen, da ich mit mathematischen Definitionen nicht so recht weiterkomme, deshalb habe ich erneut das Forum aufsuchen müssen Ich fange einfach mal mit dem zweiten Absatz an und hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann "Zu jeder Menge X gibt es zu viele andere Mengen die mit ihr gleichmächtig sind; unsere erste Aufgabe besteht darin, diesen Bereich einzuengen. Da wir wissen, dass jede Menge mit einer gewissen Ordinalzahl gleichmächtig ist, werden wir unter den Ordinalzahlen nach typischen, den repräsentativen Mengen suchen" Was ich hier verstanden habe: Der nette Herr möchte auf die Definition der Kardinalzahlen hinaus. Hierzu wählt er den Weg über die Ordinalzahlen bzw. möchte diese für seinen Beweis nutzen, indem er eine "Ebene" mit zu vielen anderen Mengen auf bestimmte MEngen reduziert/eingrenzt. Was ich nicht verstanden habe: " Wir wissen, dass jede Menge mit einer gewissen Ordinalzahl gleichmächtig ist..." Was genau heißt das bzw. wie kann man das bildlich darstellen? Das wäre es für das Erste Ich bedanke mich bereits im Voraus für eure Mühe/Teilnahme! Gruß Serg
13.06.2013, 10:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordinalzahlen gibt es "mehr" als Kardinalzahlen. Die kleinste Limesordinalzahl ist $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ . Sie hat die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen, fungiert also zugleich als Kardinalzahl $\begin{eqnarray} \aleph_0 = \omega \end{eqnarray}$ , also "abzählbar unendlich". Schreiben wir den Anfang der Ordinalzahlenreihe einmal auf. $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ist das Element, das direkt hinter den natürlichen Zahlen steht: $\begin{eqnarray} 0,1,2,3,\ldots,\omega,\omega+1,\omega+2,\ldots \end{eqnarray}$ Man kann $\begin{eqnarray} \omega+1 \end{eqnarray}$ repräsentieren durch die Menge der natürlichen Zahlen, ergänzt um ein weiteres Element, das direkt hinter allen natürlichen Zahlen kommt. Das kann man irgendwie benennen. Nichts spricht dagegen, dafür wieder $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ zu nehmen. Dann wäre $\begin{eqnarray} \omega+1 = \left\{ 0,1,2,3,\ldots \right\} \cup \left\{ \omega \right\} \end{eqnarray}$ Wenn man nun $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ statt ans Ende an den Anfang setzt: $\begin{eqnarray} \omega,0,1,2,3,\ldots \end{eqnarray}$ , erkennt man, daß $\begin{eqnarray} \omega+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ gleichmächtig sind, nämlich abzählbar unendlich. Als Ordinalzahlen sind $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \omega+1 \end{eqnarray}$ also verschieden, in ihrer Kardinalität jedoch nicht. Und vermutlich sollen jetzt in der Reihe der Ordinalzahlen diejenigen Stufen markiert werden, an denen neue Kardinalitäten entstehen. Darauf wird es, vermute ich, hinauslaufen.

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