Satz von Green

13.06.2013, 09:29	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Green Huhu, ich arbeite gerade am Integralsatz von Green und dieser besagt ja im Groben, dass ein Integral über eine ebene Fläche als Kurvenintegral ausgedrückt werden kann. Dann gibt es überall eine Spezialisierung, dass für den Flächeninhalt eine besondere Beziehung gilt. Um diese Beziehung herzuleiten wird immer eine Funktion gleich 0 und die andere gleich x gesetzt (siehe dazu etwa Wikipedia -> Satz von Green). Woher kommen diese 0 und x in Bezug auf den FI, warum tut man dies???
13.06.2013, 13:40	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz von Green ist ein Spezialfall des Stokeschen Satzes. Letzterer besagt, dass im 3-dimensionalen Fall für ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F=(F_1\|F_2\|F_3) \end{eqnarray}$ , welches auf einer beliebig gekümmten Fläche $\begin{eqnarray} \vec A \end{eqnarray}$ gegeben ist, gilt $\begin{eqnarray} \int \int_{\text{Fläche}}\vec n\cdot rot(\vec F) \,\,dA=\oint_{\text{Rand}} \vec F\,d\vec x \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ der Normaleneinheitsvektor auf der Fläche. Wendet man diesen Satz auf ebene Flächen an, die in der 12-Ebene liegen, erhält man als Spezialfall den Satz von Green. In der 12-Ebene gilt nämlich $\begin{eqnarray} \vec n=(0\|0\|1) \end{eqnarray}$ , woraus folgt $\begin{eqnarray} \vec n\cdot rot(\vec F)=(0\|0\|\tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_1}) \end{eqnarray}$ . Einsetzen in die obere Formel liefert wegen $\begin{eqnarray} d \vec x=(dx_1\|dx_2\|0) \end{eqnarray}$ in der Tat den Greenschen Satz $\begin{eqnarray} \int \int_{\text{Fläche}}\tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_2} \,\,dA=\oint_{\text{Rand}} F_1dx_1+F_2dx_2 \end{eqnarray}$ Diesen Spezialfall kann man nochmal spezialisieren, indem man speziell wählt $\begin{eqnarray} F_1=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2=x_1 \end{eqnarray}$ . Damit vereinfacht sich der Greensche Satz nochmals zu $\begin{eqnarray} \underbrace{\int \int_{\text{Fläche}} \,\,1 \,\,dA}_{\text{Flächeninhalt}}=\oint_{\text{Rand}} x_1\,\,dx_2 \end{eqnarray}$ Die linke Seite ist der Flächeninhalt. Mit dieser Formel kann man also den Flächeninhalt einer Fläche berechnen, wenn man deren Begrenzungskurve (x\|y) kennt. Das ist die Motivation dieser Formel!!!. Deshalb hat man oben gesetzt $\begin{eqnarray} F_1=0_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2=x_1 \end{eqnarray}$ . Man kann auch andere Ausdrücke einsetzen. Dann bekommt man aber keine so schöne Formel für den Flächeninhalt. Übrigens gibt es für technische Zeichner ein mechanisches Zeichengerät (ähnlich einem Zirkel), womit man den Rand einer krummlinig begrenzten Fläche umfahren kann, so dass am Ende der Flächeninhalt auf einer Anzeige angezeigt wird (rein mechanisch mit Zahnrädern usw.). Dieses Gerät basiert auf dieser Formel.
13.06.2013, 14:27	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für diese super Antwort

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