Aufleitungsaufgaben

13.06.2013, 13:07

Ascareth

Aufleitungsaufgaben

Hallo,

aufgabe i) im PDF verstehe ich nicht. Alles andere ist soweit klar. Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich weiß zwar, dass da

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}x² + \frac{1}{ln | x |} \end{eqnarray*}$

rauskommt, warum aus dem x der Ausdruck 1/2 x² wird ist mir auch klar, aber das mit dem Logarithums verstehe ich nicht.

Wenn ich x aufleite, dann mache ich das nach dieser Regel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \Rightarrow F(x) = \frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{2} x² \end{eqnarray*}$

Für den Ausdruck 1/x käme demnach das hier heraus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{-1 + 1} x^0 \end{eqnarray*}$

Teilen durch 0 ist ja nicht definiert und aus x^0 bekomme ich beim Ableiten auch nicht x^-1.

Also irgendwie habe ich das was versäumt glaube ich. Kann mir das jemand erklären?

PDF (falls von Interesse): http://ubuntuone.com/4aXMkzdTu3QIVPqPg23KS5

13.06.2013, 13:38

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Ich kann dir zwar nicht sagen warum das so ist aber das ist Gesetz.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x} \, dx=ln(x)+C \end{eqnarray*}$

Bzw.

$\begin{eqnarray*} [ln(x)]'= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

13.06.2013, 13:41

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RE: Aufleitungsaufgaben

Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}x² + \frac{1}{ln | x |} \end{eqnarray*}$

Da stimmt aber trotzdem was nicht ^^

13.06.2013, 13:42

Theend9219

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Entschuldigung, das ich mich einmische. Aber den Begriff "Aufleiten" gibt es nicht, dies nennt man Integrieren.

13.06.2013, 13:46

10001000Nick1

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Doch, Theend. Leider gibt es diesen grässlichen Begriff. Jedenfalls wird er immer häufiger benutzt. geschockt

Google findet zu "Aufleiten" schon über 22.000 Ergebnisse. Ich bin aber auch der Meinung, dass dieses Wort verboten werden sollte.

Zitat:

Original von Yu
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x} \, dx=ln(x)+C \end{eqnarray*}$

Kleine Korrektur: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x} \, dx=ln|x|+C \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

13.06.2013, 13:48

Theend9219

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Hey 10001000Nick1,
Ich finde das Wort auch furchtbar ...Lass es uns verbannen Big Laugh

13.06.2013, 15:15

kgV

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OT: Ich wäre auch für Verbannen - ganz altmodisch mit Mittelaltermethoden...die Zensur hatte auch ihre Vorteile Big Laugh

Wer für oder gegen das Wort ist, darf dies gerne hier reinschreiben. Ansonsten bleibt doch bitte beim Thema, der Thread ist noch nicht beendet. Viele Grüße
Steffen

13.06.2013, 15:46

Ascareth

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RE: Aufleitungsaufgaben

Zitat:

Original von Yu

Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}x² + \frac{1}{ln | x |} \end{eqnarray*}$

Da stimmt aber trotzdem was nicht ^^

Ja da hast du recht. Bin da wohl in der Zeile verrutsch.

Ich habe in der Zwischenzeit aber noch einmal mein altes Mathebuch befragt und folgendes gefunden:

$\begin{eqnarray*} y = ln(x) \Leftrightarrow exp(y) = exp(ln(x)) \Leftrightarrow x = e^y \end{eqnarray*}$

Man kann also sagen:

$\begin{eqnarray*} y = ln( x) \Leftrightarrow x = e^y \end{eqnarray*}$

Darauf dann die Kettenregel anwenden, also:

$\begin{eqnarray*} (x = e^y) ' \Leftrightarrow 1 = y ' \cdot e^y \Leftrightarrow y ' = \frac{1}{e^y} \end{eqnarray*}$

Und weil e^y ja wiederum x ist:

$\begin{eqnarray*} y ' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Bisschen umständlich, aber verständlich glaube ich.

14.06.2013, 15:17

Ascareth

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Ich habe noch mal ein paar andere Beispielaufgaben dazu gerechnet und mit aufgefallen, dass es noch viel einfacher geht, was die Anwendung angeht. Letztlich ist es ganz simpel so:

für $\begin{eqnarray*} y = ln (x) \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung: $\begin{eqnarray*} y ' = \frac{x'}{x} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} y = ln (2x² + x - 1) = ln (z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = 2x² + x - 1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} z ' = 4x + 1 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung ist also:
$\begin{eqnarray*} y ' = \frac{z '}{z} = \frac{4x + 1}{ 2x² + x - 1} \end{eqnarray*}$

Wenn man lediglich 1/x sieht, dann könnte man meinen, dass man lediglich den Kehrwert von x bilden müsste. Das ist aber nicht so! Was aus der Darstellung oben nicht so ohne weiteres zu erkennen ist.

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