Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume |
13.06.2013, 17:12 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume wie gehe ich beim Beweis des Banach'schen Fixpunktsatzes für allgemein vollständige metrische Räume vor? Also das besagt ja der Satz: Sei eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes und eine kontrahierende Selbstabbildung, dann besitzt genau einen Fixpunkt, also genau einen Punkt mit . Für jeden Startwert konvergiert die durch rekursiv definierte Folge gegen . Also ich hab mir folgendes überlegt. Wikipedia sagt ja zur Kontraktion: " sei ein metrischer Raum. Eine Abbildung heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl gibt, mit der für alle gilt: . Man nennt die Abbildung dann auch kontrahierend oder auch kontraktiv auf ." So würde ich auch rangehen und sagen, dass irgendein Punkt aus ist. Mit der Kontraktionskonstanten erhält man wegen induktiv . Nun folgt: . Aber hier weis ich jetzt nicht weiter. Ich muss irgendwie den Grenzwert bestimmen, weiß aber nicht wie ... Hoffe jemand kann mir helfen .. LG |
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13.06.2013, 20:03 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Wenn du nun weißt, dass eine Cauchy-Folge ist, kannst du annehmen, dass es ein gibt, so dass in (denn der Raum ist vollständig). Jetzt musst du zeigen, dass , d.h. . |
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13.06.2013, 20:11 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Huhu Che, Ich hatte mir da so Gedanken gemacht ... wegen vorraussetzung Das \xi der Grenzwert ist erhält man durch die Angabe, dass M als Teilraum eines vollst. metr. Raumes selbst vollst. ist. (wie du schon sagst) Reicht das als Beweis?? Liebe Grüße |
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13.06.2013, 20:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Wieso gilt denn da die erste Gleichung? Kannst du voraussetzen, dass stetig ist? |
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13.06.2013, 20:52 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Ja, die Existenz des Grenzwertes ist ein Fixpunkt von und das folgt doch aus der Stetigkeit von M. |
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13.06.2013, 20:56 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Die Existenz ist ein Fixpunkt und eine Menge ist stetig? Unsinn... |
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13.06.2013, 21:06 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Stimmt .. wie kann eine Menge stetig sein .. höchstens die Menge stetiger Funktionen .. |
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13.06.2013, 21:08 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Es gibt zwar tatsächlich den Begriff der gleichgradigen Stetigkeit für Familien bzw. Mengen stetiger Funktionen – das ist aber etwas ganz anderes. |
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13.06.2013, 21:12 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Danke für die Info! Dann muss ich hier wieder ansetzen ...
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13.06.2013, 21:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Oder aber du beachtest folgenden Hinweis:
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17.06.2013, 12:15 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Entschuldigung, das ich nicht darauf geantwortet habe .. ich werde das jetzt nachholen. |
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17.06.2013, 12:21 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Wie zeige ich das? Und nach (metrische Räume) falls gilt So? Aber eigendlich gitl ja das nur falls |
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17.06.2013, 12:57 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Du kannst mit der Dreiecksungleichung eines der Folgenglieder einschieben. |
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17.06.2013, 15:11 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume So steht es in Wikipedia, aber ich weiß nicht warum ... Könntest du mir vielleicht die Dreiecksungleichung zeigen? |
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17.06.2013, 17:15 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Dort wird anscheinend die Stetigkeit von benutzt. Die kann man auch zeigen, aber anscheinend habt ihr das noch nicht. Du wirst doch aber wohl noch wissen/nachschlagen können, wie die Dreiecksungleichung (für eine Metrik) lautet... |
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17.06.2013, 17:18 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Ja die weiß ich |
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17.06.2013, 17:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Das ist die Dreiecksungleichung für Normen. Ich hatte extra in Klammern "für eine Metrik" geschrieben. |
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17.06.2013, 17:27 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume entschuldigung |
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17.06.2013, 17:33 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Das keine Dreiecksungleichung Stattdessen ist das eine spezielle Metrik auf . |
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17.06.2013, 17:46 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Ahhhh Entschuldigung ! |
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17.06.2013, 18:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Ja. Wende das auf und an, um ein "einzuschieben". |
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17.06.2013, 18:52 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Ich glaub das mit dem einschieben ist mir schon wieder zu kompliziert hihi |
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17.06.2013, 19:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Klappt doch. Jetzt zeige, dass beide Summanden auf der rechten Seite für gegen Null gehen. Fang dazu am besten mit dem ersten an, der ist einfacher zu handhaben. |
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17.06.2013, 19:35 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Huhu, ich weis nicht .. |
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17.06.2013, 19:36 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Das kann nicht sein; wenn du rechts gegen Unendlich laufen lässt, kann links kein mehr auftauchen. |
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17.06.2013, 19:41 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
so? LG |
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17.06.2013, 19:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume Da hast du das gleiche Problem... |
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17.06.2013, 19:53 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
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17.06.2013, 19:54 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
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