Gleichung nach y umformen

13.06.2013, 17:28

Theend9219

Gleichung nach y umformen

Hallo, ich habe gerade einen Hänger ...
es geht um:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} t^{3}+t \end{eqnarray*}$
Ich möchte es nach y umformen ..stehe aber gerade auf dem Schlauch ..

13.06.2013, 17:29

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Scharf hinschauen bringt dich auf y=t.....

13.06.2013, 17:30

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Ja stimmt. Aber existiert noch eine andere Lösung?

13.06.2013, 17:32

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
man könnte zunächst das versuchen:

$\begin{eqnarray*} (y-t)\cdot(\frac{1}{3}\cdot (y^2+...)+1)=0 \end{eqnarray*}$

womit man eine überschaubare anzahl von lösungen für y bekommt Augenzwinkern

13.06.2013, 17:35

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Danke ... Das Problem ist nämlich es ist eine DGL
$\begin{eqnarray*} (t^2+1)y' = y^{2} +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) \frac{dt}{dy} = y(x)^{2} +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int t^2 +1 dt = \int y^2 +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} t^{3} + t +C = \frac{1}{3} y^{3} +y +D \end{eqnarray*}$
Aber ich glaube ich hab nicht mal das richtig gemacht .. (Die Variation der Konstanten).

13.06.2013, 17:42

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Trennung der Variablen meinst du, oder? Jedenfalls schaut es ganz danach aus....

Einen Fehler hast du hier gemacht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) {\color{red}\frac{dt}{dy} }= y(x)^{2} +1 \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt}=y' \end{eqnarray*}$

Und es soll wahrscheinlich y(t) sein und nicht y(x)......

Danach ist natürlich entsprechend alles falsch....

Das ganze führt dann auf ein wohlbekanntes Integral....

13.06.2013, 17:48

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Verdammt. Du hast Recht - das passiert mir andauernd ...
also ist dann:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y^{2}+1} dy = \int \frac{1}{t^{2}+1} dt \end{eqnarray*}$
Und das ist

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}(y) + C = tan^{-1}(t) + D \end{eqnarray*}$

oder?

13.06.2013, 17:51

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Du hast doch mit Sicherheit eine Anfangsbedingung gegeben, oder?

Diese solltest du in das Integral einsetzen......

Ansonsten hast du zwei unbekannte, aber nur eine Bedingung...

Du kannst auch die Konstante bei der Integration von y weglassen und dann die Anfangsbedingung einsetzen....

13.06.2013, 17:52

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Nein gar keine Anfangsbedingung.
Die Subsection der Aufgabe war nur (Trennung der Variablen)

13.06.2013, 17:55

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Dann würde ich die Konstante auf einer Seite (üblicherweise auf der y-Seite) weglassen, immerhin ist

$\begin{eqnarray*} \arctan (y) + C= \arctan (t) + D \Rightarrow \arctan (y)= \arctan (t)+ \underbrace{D-C}_{\text{diese ist die neue Integrationskonstante } A} \end{eqnarray*}$

Es reicht also, auf einer Seite eine Integrationskonstante zu berechnen. üblicherweise hat man ja auch nur eine ANfangsbedingung, da wird es schwer, zwei unbekannte zu berechnen....

13.06.2013, 17:58

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..

Zitat:

Original von Theend9219

$\begin{eqnarray*} (t^2+1)y' = y^{2} +1 \end{eqnarray*}$ smile

$\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) \frac{dt}{dy} = y(x)^{2} +1 \end{eqnarray*}$ <- traurig

-> und wenn y eine Funktion von x wäre ( traurig

<- siehe )
dann sieht alles nochmal anders aus ..

Prost

13.06.2013, 17:59

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Hab ich schon drauf hingewiesen.......

Zitat:

Original von lgrizu

Und es soll wahrscheinlich y(t) sein und nicht y(x)......

13.06.2013, 18:09

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Danke .. und auch nochmal danke "orginal"

Ich habe nochmal eine Frage .. möchte aber keinen neuen Thread aufmachen da sie auch mit DGL zu tun hat ..
Warum folgt aus
$\begin{eqnarray*} (x-y) dx +x dy = \end{eqnarray*}$ 0
$\begin{eqnarray*} (1- \frac{y}{x}) dx +dy = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Ich verstehe den Umformungsschritt nicht ..

13.06.2013, 18:18

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..

Zitat:

Original von lgrizu

Hab ich schon drauf hingewiesen.......

Und es soll wahrscheinlich y(t) sein und nicht y(x)......

ja -> und deine Frage ist leider irgendwie ungehört geblieben ?

ausserdem sollte man den Künstlern nicht durch (wohldurchdachte) Spekulationen
deren eigene Schludrigkeiten mit Wahrscheinlichkeiten wegräumen..

und nebenbei ist zu vermuten , dass selbst
$\begin{eqnarray*} (t^2+1) \cdot \frac{dy}{dx} = y^{2} +1 \end{eqnarray*}$
für manche Denker eine (kleine) Herausforderung sein könnte smile

13.06.2013, 18:21

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Ja, es tut mir leid .. Ich meinte natürlich nicht $\begin{eqnarray*} y(x)^2 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} y(t)^2 \end{eqnarray*}$

Danke ..

13.06.2013, 18:28

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..

Zitat:

Original von Theend9219
Ja, es tut mir leid .. Ich meinte natürlich nicht $\begin{eqnarray*} y(x)^2 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} y(t)^2 \end{eqnarray*}$
.

.
.

. schon gut - aber könntest du auch dies dann lösen:
$\begin{eqnarray*} (t^2+1) \cdot \frac{dy}{dx} = y^{2} +1 \end{eqnarray*}$

und zu deiner neuen Frage:

$\begin{eqnarray*} (x-y) dx +x dy = o \end{eqnarray*}$ ..

hast du schon mal versucht, auf beiden Seiten alles durch x zu teilen? verwirrt

13.06.2013, 18:41

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
hey,
ja ich müsste doch dann einfach $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(t^2+1)} dx \end{eqnarray*}$ lösen ? Und das ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{t^{2}+1}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-y) dx +xdy=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-y)dx}{x} + dy = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{x}{x}-\frac{y}{x}) dx + dy = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{y}{x}) dx +dy = 0 \end{eqnarray*}$

Ah danke ! Big Laugh

Jetzt wird es klar.

13.06.2013, 18:51

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
$\begin{eqnarray*} (t^2+1) \cdot \frac{dy}{dx} = y^{2} +1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Theend9219
hey,
ja ich müsste doch dann einfach smile

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(t^2+1)} dx \end{eqnarray*}$ lösen ? Und das ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{t^{2}+1}+C \end{eqnarray*}$

.

hm

das ist aber nur die halbe Wahrheit .. was steht denn sonst noch rum?

und ganz nebenbei: die Aufgabe (egal welche Variablen) heisst doch:
" Gleichung nach y umformen" .. ->

was ist wohl damit gemeint ... ?!

13.06.2013, 19:17

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Tut mir leid, das ich einfach das weggelassen habe ..

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{t^{2}+1} +c_{1} = tan^{-1}(y) +c_{2} \end{eqnarray*}$

Und dann umformen nach y und ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} y =tan (\frac{x}{t^{2}+1}+C) \end{eqnarray*}$

13.06.2013, 19:25

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..

Zitat:

Original von Theend9219

$\begin{eqnarray*} y =tan (\frac{x}{t^{2}+1}+C) \end{eqnarray*}$ Freude

.
und bei dieser DGL : $\begin{eqnarray*} (t^2+1) \cdot \frac{dy}{dt} = y^{2} +1 \end{eqnarray*}$

also falls y(t) ...

?

13.06.2013, 19:37

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Im Fall falls $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (t^{2}+1)\frac{dy}{dt} = y^{2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^{2}+1} dt = \frac{1}{y^{2}+1} dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{t^{2}+1} dt = \int \frac{1}{y^{2}+1} dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^{-1} (t) +d_{1} = tan^{-1} (y) +d_{2} \end{eqnarray*}$

Und daraus erhät man $\begin{eqnarray*} y= t + D \end{eqnarray*}$
Ich habe $\begin{eqnarray*} d_{1}, d_{2} \end{eqnarray*}$ zu der Konstanten $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zusammengefasst ...

Liebe Grüße

13.06.2013, 19:52

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..

Zitat:

Original von Theend9219

$\begin{eqnarray*} tan^{-1} (t) +d_{1} = tan^{-1} (y) +d_{2} \end{eqnarray*}$

Und daraus erhät man $\begin{eqnarray*} y= t + D \end{eqnarray*}$ ... NEIN

Ich habe $\begin{eqnarray*} d_{1}, d_{2} \end{eqnarray*}$ zu der Konstanten $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zusammengefasst ...

die Zusammenfassung sollte schon hier stattfinden ->

$\begin{eqnarray*} tan^{-1} (t) +d_{1} = tan^{-1} (y) +d_{2} \end{eqnarray*}$

(aber das wurde dir doch oben schon gesagt ) .. also so:=>

$\begin{eqnarray*} arctan (y) = arctan(t) + D \end{eqnarray*}$

und wie geht es nun richtig weiter? verwirrt

(schreib jetzt bloss nicht wieder => y= t + D ) ! !

13.06.2013, 20:02

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Danke für deine Antwort.
Oh ich sehe das ich das D völlig unbeobachtet gelassen habe
$\begin{eqnarray*} arctan(y) = arctan(t) +D \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = tan(arctan(t)+D)<br /> \end{eqnarray*}$

so?

13.06.2013, 20:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Via Tangens-Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \tan(u+v) = \frac{\tan(u)+\tan(v)}{1-\tan(u)\tan(v)} \end{eqnarray*}$ kann man übrigens die Lösungsfunktion $\begin{eqnarray*} y = \tan(\arctan(t)+D) \end{eqnarray*}$ "enttrigonometrieren": Dann ist nämlich

$\begin{eqnarray*} y = \frac{t+c}{1-tc} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} c:=\tan(D) \end{eqnarray*}$ ist. Allerdings ist dann der Fall $\begin{eqnarray*} D=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ noch gesondert zu betrachten, der zur Lösung $\begin{eqnarray*} y = -\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ führt.

13.06.2013, 20:10

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..

Zitat:

Original von Theend9219

so?

............ -> JA

nebenbei:
für welche Werte der Integrationskonstanten D wäre y= t eine Lösung ?

13.06.2013, 20:17

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache Aufgabe ..
Hey HAL 9000,
Das ist ja echt praktisch - Danke!.
original -> leider weiß ich nicht wie das gemeint ist ... meinst du, wenn $\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} y = t +0 = y= t \end{eqnarray*}$ ?

Neue Frage »

Antworten »

Gleichung nach y umformen

Verwandte Themen