beschränkte lineare Operatoren

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13.06.2013, 16:46	helmutino	Auf diesen Beitrag antworten »
beschränkte lineare Operatoren Betrachte den normierten Raum $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}; \|.\|) \end{eqnarray}$ (der Punkt soll mittig sein), sowie den Raum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1], also C[0, 1]. Der lineare Operator T sei definiert durch: $\begin{eqnarray} T : C[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad \quad f \rightarrow Tf := f(0) \end{eqnarray}$ Untersuche, ob T beschränkt ist, wenn C[0, 1] mit folgenden Normen ausgestattet ist: a) Die Supremumsnorm auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0, 1]: \|\|f\|\|_{\infty} := \sup_{x \in [0,1]} \|f(x)\| \end{eqnarray}$ b) Die 2-Norm auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0, 1]: \|\|f\|\|_2 := \int_{0}^1 \|f(t)\|^2dt \end{eqnarray}$ Ich habe mir folgendes überlegt. (zur a.) ) Da f stetig ist auf [0,1] besitzt die Funktion ein Maximum=: M auf [0,1]. $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \le M \quad \forall x \in [0,1] \Rightarrow f(0) \le M \end{eqnarray}$ Mit Tf=f(0) gilt also, dass $\begin{eqnarray} Tf\le M \end{eqnarray}$ (i) Außerdem gilt, dass $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_{\infty}:= \sup_{x \in [0,1]} \|f(x)\|=M \end{eqnarray}$ (ii) Mit (i) und (ii): $\begin{eqnarray} Tf \le \|\|f\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ () und somit ist der Operator beschränkt. Stimmt das so ungefähr? Ich bin mir da an ein paar Stellen nämlich unsicher. Die Norm für \mathbb{R} ist ja zum einen schon mal nicht definiert. Und außerdem bin ich mir bei der Zeile () unsicher, ob man das dann da so schreiben darf. Außerdem bin ich mir auch noch sicher, ob das hier gilt: $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_{\infty}:= \sup_{x \in [0,1]} \|f(x)\|=M \end{eqnarray}$ Da aber ein Maximum in diesem raum existiert, müsste ja das Maximum gleich dem Supremum sein. Kann mir Jemand vielleicht da weiterhelfen? gruß francois
13.06.2013, 22:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Deine Ideen stimmen so. Es ist aber auch $\begin{eqnarray} \lvert f(0)\rvert\leq\sup_{x\in[0,1]}\lvert f(x)\rvert \end{eqnarray}$ direkt mit der Definition des Supremums, da $\begin{eqnarray} 0\in[0,1] \end{eqnarray}$ . Als Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ wird standardmäßig der Betrag verwendet. Das spielt aber keine große Rolle, denn auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ sind ja alle Normen äquivalent und auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sogar isometrisch.
14.06.2013, 06:06	helmutino	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren hey che netzer, cool! danke schön! gruß francois
14.06.2013, 06:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Und Teil b) hast du auch schon geschafft?
14.06.2013, 07:48	helmutino	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Bei der b.) hab ich mir folgendes gedacht: Sei M wieder das Maximum von f(x). Dann gilt ja: $\begin{eqnarray} \int_{0}^1 f(x) \le \int_{0}^1 M \end{eqnarray}$ und damit gilt dann wieder, dass der Operator beschränkt ist. Da: $\begin{eqnarray} f(0)(=Tf)\le \int_{0}^1 \|f(0)\| \le \int_{0}^1 \|M\|:=M_2 \end{eqnarray}$ und somit ist also : $\begin{eqnarray} Tf \le M_2 \end{eqnarray}$ Das müsste dann doch auch passen, wobei das überraschend wäre, denn im Normalfall gibt es immer eine Übungsaufgabe, bei der man was widerlegen muss, also dann hier, dass ein Operator unbeschränkt ist.... Gruß Helmutino
14.06.2013, 08:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Und was hat $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ mit der 2-Norm zu tun?
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14.06.2013, 17:37	heömutino	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren wohl nichts. Ich habs jetzt mal mit partieller Integration des Integrals probiert, allerdings muss ich da ja f(x) mal ableiten, aber ich weiß nicht, ob f(x) diff'bar ist. Das sähe dann so aus: $\begin{eqnarray} \int_{0}^1 \|f(x)\|^2= \left[\|F(x)\| \cdot \|f(x)\| \right]^1_0-\int_{0}^1 \|F(x)\|\cdot \|f'(x)\|=\left[\|F(x)\| \cdot \|f(x)\| \right]^1_0-\left[\|F(x)\| \cdot \|f(x)\| \right]^1_0-\int_{0}^1 \|f(x)\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2 \cdot \int_{0}^1 \|f(x)\|^2=\left[\|F(x)\| \cdot \|f(x)\| \right]^1_0-\left[\|F(x)\| \cdot \|f(x)\| \right]^1_=0 \end{eqnarray}$ Aber das würde ja bedeuten, dass das 0 wäre für alle stetige Funktionen und das ist ja wohl kaum der Fall.
14.06.2013, 17:39	helmutino	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren soll natürlich: $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2 \cdot \int_{0}^1 \|f(x)\|^2=\left[\|F(x)\| \cdot \|f(x)\| \right]^1_0-\left[\|F(x)\| \cdot \|f(x)\| \right]^1_0=0 \end{eqnarray}$ Aber das würde ja bedeuten, dass das 0 wäre für alle stetige Funktionen und das ist ja wohl kaum der Fall.
14.06.2013, 17:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren So geht das tatsächlich auf keinen Fall. Selbst wenn du Differentiation und Betragsbildung für stetige (und nicht differenzierbare) Funktionen vertauschen dürftest: Bei der zweiten partiellen Integration hast du einen Vorzeichenfehler eingebaut. Und was willst du eigentlich erreichen? Möchtest du zeigen, dass $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ in diesem Fall stetig ist?
14.06.2013, 17:48	helmutino	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Nein, ich hatte gehofft das dann so irgendwie abschätzen können, dass $\begin{eqnarray} f(0)=Tf \le \|\|f\|\|_{2} \end{eqnarray}$ oder aber halt mit $\begin{eqnarray} \ge \end{eqnarray}$ . Aber das funktioniert ja nicht. Jap, den Vorzeichenfehler habe ich auch direkt nach dem Post entdeckt. Wie könnte ich denn dann vielleicht starten? So langsam gehen mir die Ideen aus...
14.06.2013, 17:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Es wäre doch langweilig, wenn in a) und b) jeweils das gleiche Ergebnis herauskäme; dass $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ stetig ist.
14.06.2013, 17:53	helmutino	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Sorry, aber diesen Satz kenne ich nicht. Heißt das, dass wenn T nicht stetig ist, dass dann die lin. Abbildung nicht beschränkt ist?
14.06.2013, 17:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Ui, dann verrate ich dir mal eine der tollsten Eigenschaften linearer Operatoren: Sie sind genau dann stetig, wenn sie beschränkt sind. Und das ist weiterhin äquivalent dazu, dass sie in einem einzigen Punkt stetig sind oder dazu, dass sie sogar Lipschitz-stetig sind. Komisch, dass ihr dass nicht besprochen habt... Aber das brauchst du für die Aufgabe nicht. Zeig also, dass es kein $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ geben kann, so dass $\begin{eqnarray} \lvert Tf\rvert\leq C\lVert f\rVert_2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f\in C[0,1] \end{eqnarray}$ gilt.
14.06.2013, 18:11	helmutino	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Sorry, aber ich steh echt aufm Schlauch. Ich zeige also: $\begin{eqnarray} \exists f \in C[0,1] \end{eqnarray}$ so dass gilt: $\begin{eqnarray} \frac{f(0)}{\|\|f\|\|_2}=\frac{f(0)}{\int_0^1 \|f(t)\|^2}>c \quad \forall c \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Aber wie soll ich denn zeigen, dass so ein f existiert. Ausdenken geht ja wohl sicher nicht
14.06.2013, 18:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beschränkte lineare Operatoren Nein, ein einzelnes $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ genügt hier nicht. Such eine Folge von $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ , so dass a) der Wert $\begin{eqnarray} \lvert Tf_n\rvert \end{eqnarray}$ von der Null weg beschränkt ist (z.B. konstant und positiv), aber $\begin{eqnarray} \lVert f_n\rVert_2\to0 \end{eqnarray}$ oder b) der Wert $\begin{eqnarray} \lvert Tf_n\rvert \end{eqnarray}$ beliebig groß wird, obwohl $\begin{eqnarray} \lVert f_n\rVert \end{eqnarray}$ beschränkt bleibt.

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