Mengen und 1-dimensionale Untermannigfaltigkeiten im R^2

13.06.2013, 18:58

Pauline21

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Mengen und 1-dimensionale Untermannigfaltigkeiten im R^2

Meine Frage:
Hallo. Das Kapitel Untermannigfaltigkeiten ist dran mit einer Aufgabe: Skizzieren Sie grob die folgenden Mengen und begründen, Sie welche davon 1-dimensionale Untermannigfaltigkeiten von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sind:

$\begin{eqnarray*} a) L:= \mathbb R \times \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) E:= \lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 | x^2+4y^2<1 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) G:= \lbrace (x,sin(x)) | \in ]0,\pi[\rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) R:= \partial ([0,1]^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e) M:= \lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 |y^2=x^2 (1-x^2) \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f) N:= M \setminus \lbrace (0,0) \rbrace \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zu der Definition der Mannigfaltigkeit; Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heißt eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und unendlich oft differenzierbare Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_1 ,...,f_{n-k} : U \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt mit folgenden Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} (1) M \cap U = \lbrace x \in U | f_1 (x)=0,...,f_{n-k} (x)=0 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \text{rg } J_{f_1,...,f_{n-k} (x)}=n-k \forall x \in U \end{eqnarray*}$

d.h. die Gradienten $\begin{eqnarray*} \text{grad }f_1,...\text{grad } f_{n-k} \end{eqnarray*}$ sind in jedem Punkt linear unabhängig.

Ich habe Schwierigkeiten mir darunter etwas vorzustellen und Ideen zur Lösung fallen mir auch nicht ein. Daher bin ich für Hilfe ehrlich, wirklich dankbar.

LG Paula

PS: So jetzt ist alles korrigiert.

13.06.2013, 21:03

Tom92

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Hallo Pauline,

schreibe dir die Definition für 1-dimensionale Untermannigfaltigkeiten im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ auf. Dies sieht dann schon einfacher aus.

Du sollst ja auch nur begründen, nicht beweisen, wenn ich das richtig verstanden habe. Dazu reicht es ja, wenn du das Prinzip verstanden hast.

Die Teilmengen solltest du skizzieren können (meinst du in a) $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\times \{0\} \end{eqnarray*}$ ?).

Für c) gebe ich dir den Tipp

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=y-\sin x \end{eqnarray*}$

Gruß Tom

Hattet ihr den Satz über implizite Funktionen schon. Der macht das Ganze vielleicht auch ein bisschen klarer.

14.06.2013, 09:12

Pauline21

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Zitat:

Original von Tom92
Hallo Pauline,

schreibe dir die Definition für 1-dimensionale Untermannigfaltigkeiten im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ auf. Dies sieht dann schon einfacher aus.

Also im Buch steht keine für 1D verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Tom92
Du sollst ja auch nur begründen, nicht beweisen, wenn ich das richtig verstanden habe. Dazu reicht es ja, wenn du das Prinzip verstanden hast.

Die Teilmengen solltest du skizzieren können (meinst du in a) $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\times \{0\} \end{eqnarray*}$ ?).

Ja das meine ich. $\begin{eqnarray*} L:=\mathbb R \times \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ Was das bedeutet ist doch, dass alle reellen Zahlen also die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ multipliziert mit der Menge Null? Das ergibt doch die Nullmenge?

Zitat:

Original von Tom92
Hattet ihr den Satz über implizite Funktionen schon. Der macht das Ganze vielleicht auch ein bisschen klarer.

Ja den hatten wir, also den allgemeinen Satz über implizite Funktionen als auch den Satz über implizite Funktionen. Aber wieso macht der das Ganze klarer?

Danke für deine Antwort Tom.

14.06.2013, 17:28

Tom92

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Hallo,

du hast sie doch schon aufgeschrieben:
Du musst in der Definition für Untermannigfaltigkeiten $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ setzen. Dann hast du $\begin{eqnarray*} n-k=1 \end{eqnarray*}$ Funktionen, also eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f:U\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ eine Umgebung eines Punktes $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aus der betrachteten Menge ist. Die Jacobimatrix besteht nur aus den beiden partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Der Rang ist also gleich 1, wenn eine der beiden partiellen Ableitungen nicht 0 ist.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\times \{0\} \end{eqnarray*}$ ist das kartesiche Produkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , also alle $\begin{eqnarray*} (x,0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . D.h. das ist die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse.

Wenn du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=y-\sin(x) \end{eqnarray*}$ betrachtest, und hierauf den Satz über implizite Funktionen anwenden willst (d.h. du willst die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen), hast du die gleiche Situation, wie für Aufgabe c). In der Bedingung für die Untermannigfaltigkeit ist es einem halt egal, ob man nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen kann.

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Und die Vorstellung ist einfach, dass eine glatte Kurve in der Ebene eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.

Gruß Tom

14.06.2013, 17:30

Che Netzer

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Jede reguläre glatte Kurve.

14.06.2013, 17:35

Pauline21

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Zitat:

Original von Tom92
Hallo,

du hast sie doch schon aufgeschrieben:
Du musst in der Definition für Untermannigfaltigkeiten $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ setzen. Dann hast du $\begin{eqnarray*} n-k=1 \end{eqnarray*}$ Funktionen, also eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f:U\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ eine Umgebung eines Punktes $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aus der betrachteten Menge ist. Die Jacobimatrix besteht nur aus den beiden partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Der Rang ist also gleich 1, wenn eine der beiden partiellen Ableitungen nicht 0 ist.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\times \{0\} \end{eqnarray*}$ ist das kartesiche Produkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , also alle $\begin{eqnarray*} (x,0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . D.h. das ist die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse.

Oh danke das ist mir jetzt klarer geworden.

Zitat:

Original von Tom92
Wenn du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=y-\sin(x) \end{eqnarray*}$ betrachtest, und hierauf den Satz über implizite Funktionen anwenden willst (d.h. du willst die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen), hast du die gleiche Situation, wie für Aufgabe c). In der Bedingung für die Untermannigfaltigkeit ist es einem halt egal, ob man nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen kann.

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Und die Vorstellung ist einfach, dass eine glatte Kurve in der Ebene eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.

Also zeichne ich bei a) einfach die x-Achse? Mir ist aber immer noch unklar wieso das eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.

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14.06.2013, 17:42

Tom92

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Die gesuchte Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x,y)=y \end{eqnarray*}$ für alle Punkte auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse. Wenn du diese Funktion gleich Null setzt, erhältst du genau die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse. Und die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist 1, also ist der Rang der Jacobimatrix auch 1. Also sind alle Bedingungen erfüllt.

(Und die Vorstellung mit der glatten Kurve war die unmathematische Formulierung)

Ich muss jetzt weg. Ich weiß nicht, ob ich mich heute noch einmal einlogge.

Gruß Tom

14.06.2013, 17:44

Pauline21

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Ohje

unglücklich

okay danke dir, vllt übernimmt jemand? Habe jedenfalls große Probleme unglücklich

unglücklich

14.06.2013, 19:00

CruellaDeVil

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Hallo,
die b gezeichnet müsste doch eine ellipse sein oder?
Müsste auch Untermannigfaktig sein^^

14.06.2013, 19:09

Che Netzer

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Der Rand einer Ellipse wäre tatsächlich eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit (nicht Untermannigfaktig Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Die hier vorliegende Menge ist aber nicht die Randkurve.

14.06.2013, 19:13

CruellaDeVil

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sorry verschrieben...

14.06.2013, 19:29

CruellaDeVil

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wenn E das innere der Ellipse ist. Dann ist sie eine offene Teilmenge von R^2 und somit eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Und E ist keine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R^2, da nahe (0,0) E weder der Graph einer Funktion von x noch von y ist.

14.06.2013, 19:31

Che Netzer

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Oder weil zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten keine eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten sein können Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.06.2013, 19:37

CruellaDeVil

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Zitat:

Original von Che Netzer
Oder weil zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten keine eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten sein können Augenzwinkern

Augenzwinkern

oder so^^ Ich mag lieber rechnen als so ein theoretischen kram, den man in der Physik nicht braucht -.-

Aber danke.
Den rest bekomme ich dann auch hin smile

smile

18.06.2013, 15:04

KlopfKlopf

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Hallo,
mir ist bekannt wie man die a) zeichnet. Aber warum liegt der Graph nur auf der x Achse?
Kann mir jemand erklaeren warum man R{0} so zeichnet.

DANKE Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.06.2013, 15:09

Un-aachen

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du meintest bestimmt $\begin{eqnarray*} \mathbb R X\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Ich wuerds auch gerrne wissen Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.06.2013, 15:16

Che Netzer

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Vielleicht genügt euch das Einsetzen der Definition:
$\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\{0\}=\bigl\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\in\mathbb R\,,\ y\in\{0\}\bigr\},. \end{eqnarray*}$

Die Menge würde ich übrigens nicht als Graphen bezeichnen, solange keine entsprechende Funktion gegeben ist.

18.06.2013, 15:53

Un-aachen

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warum ist das so definiert? koennte ja auch genauso gut x null sein und y element der reellen zahlen. woher sieht man das gerade das x nicht null ist.?

18.06.2013, 16:38

Che Netzer

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So ist das kartesische Produkt nunmal definiert...
Natürlich könnte man die Koordinatenachsen in der Skizze auch vertauschen, aber die zweite Komponente der Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\{0\} \end{eqnarray*}$ ist immer Null.

Und natürlich ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\{0\}\neq\{0\}\times\mathbb R\,. \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 11:36

KlopfKlopf

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Zitat:

Original von Che Netzer
So ist das kartesische Produkt nunmal definiert...
Natürlich könnte man die Koordinatenachsen in der Skizze auch vertauschen, aber die zweite Komponente der Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\{0\} \end{eqnarray*}$ ist immer Null.

Und natürlich ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\{0\}\neq\{0\}\times\mathbb R\,. \end{eqnarray*}$

Aber wenn man die Koordinatenachsen vertauscht, dann bekommt man doch
$\begin{eqnarray*} \{0\}\times\mathbb R\,. \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 20:08

Che Netzer

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Nein.
Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\{0\} \end{eqnarray*}$ besteht aus geordneten Tupeln einer reellen Zahl und Null. In genau der Reihenfolge.
Das ist gänzlich unabhängig davon, wie man die Menge visualisiert.
Man kann sich auch ein schiefes Koordinatensystem wählen, das verändert die Menge aber nicht.

Ein Wechsel der Koordinatenachsen ließe sich so andeuten:
$\begin{align*} \mathbb R\times\{0\}&=\bigl\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\in\mathbb R\,,\ y\in\{0\}\bigr\}\\&=\bigl\{(y,x)\in\mathbb R^2:y\in\mathbb R\,,\ x\in\{0\}\bigr\}\,. \end{align*}$
Diejenige Koordinate, die man entlang der horizontalen Achse einträgt, muss ja nicht zwingend die erste Koordinate des Tupels sein.

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