Stammfunktion bestimmen

13.06.2013, 23:44

NochEinGast

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Stammfunktion bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem folgende Integrale zu lösen. Bzw. die Stammfunktion aufzustellen.

a) $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (2x + \frac{1}{x^2 - 4x +x} \,) dx \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \int_3^4 \! (\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} \,) dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Formel für die Stammfunktionsberechnung: Aus $\begin{eqnarray*} a * x^n \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \frac{a}{n+1} * x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist mir bekannt.
Nur schaffe ich es nicht, diese auf die beiden Brüche anzuwenden. unglücklich

unglücklich

Wäre klasse, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich bei den beiden Aufgaben vorgehen muss.

13.06.2013, 23:59

mYthos

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a) Angabe überprüfen, oder ist der Nenner x² - 3x ? --> PBZ! (Partialbruchzerlegung)
b) Schreibe beide Terme in Exponentialform!

mY+

14.06.2013, 00:18

NochEinGast

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Danke die schnelle Antwort!

Die Angaben für a) sind so korrekt.
verwirrt

verwirrt

Als Exponentialform schreiben.. Blöde Frage, aber wie mache ich das? Ups

Ups

14.06.2013, 00:25

mYthos

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Man kann doch - 4x + x zusammenfassen, solche Angaben sind daher nicht üblich. Aber soll so sein.
___________

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {a^2} = a^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt a = a^{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$

mY+

14.06.2013, 00:47

NochEinGast

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Ahh.. Dann will das mal versuchen:

Für a): $\begin{eqnarray*} 2x + x^{-2} - 4x^{-1} + x^{-1} \end{eqnarray*}$

Für b): $\begin{eqnarray*} 4x^{\frac{1}{2}} - 3x^{-2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

14.06.2013, 00:56

mYthos

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a)
Die Summanden im Nenner darfst du so nicht auseinanderziehen. Hier musst du den Nenner in Linearfaktoren zerlegen, diese sind dann die Nenner der Partialbrüche! Die Zähler müssen mittels Koeffizientenvergleich gefunden werden.
Du solltest mit der Partialbruchzerlegung vertraut sein.

b)
Im ersten Term muss die Hochzahl ebenfalls negativ sein, also -1/2

mY+

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14.06.2013, 01:30

NochEinGast

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Ohje.. Ich glaube weiter als den Nenner in Linearfaktoren zu zerlegen komme ich heute nicht mehr. (Habe davor den Nenner doch lieber zusammengefasst)
x² - 3x
= x ( x - 3)

Das mit dem Koeffizientenvergleich bzw. der Partialbrüche muss ich mir morgen dann nochmal anschauen. Verstehe da momentan nur Bahnhof Hammer

Hammer

Vielen Dank aber schonmal für deine Hilfe! Wenigstens ist b) nun quasi schon gelöst. smile

smile

14.06.2013, 01:55

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \frac 1 {x(x-3)} = \frac A x + \frac B {x-3} \end{eqnarray*}$

Mit dem Hauptnenner multiplizieren, A, B können aus dem durch Koeffizientenvergleich entstehenden Gleichungssystem bestimmt werden. Die Integrale führen auf einen $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$

mY+

14.06.2013, 05:16

Bernhard1

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Zitat:

Original von mYthos
Die Integrale führen auf einen $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$

Was aber bedeutet, dass das Integral bei a) divergiert, bzw. nicht existiert.

Wurde die Aufgabe tatsächlich so gestellt?

14.06.2013, 21:09

NochEinGast

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Vielen Dank für Eure Antworten!

Allerdings habe ich noch immer Probleme mit der Aufgabe unglücklich

unglücklich

Mein derzeitiger Stand:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {x(x-3)} = \frac A x + \frac B {x-3} \end{eqnarray*}$

Mit dem Hauptnenner Multiplizieren: $\begin{eqnarray*} \frac{1 * x (x-3)}{x (x-3)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{A * x (x-3)}{x} + \frac{B * x (x-3)}{x-3} \end{eqnarray*}$

Nun kürzen: 1. Bruch kürzt sich komplett weg.
Und aus: $\begin{eqnarray*} \frac{A * x (x-3)}{x} + \frac{B * x (x-3)}{x-3} \end{eqnarray*}$

Wird: $\begin{eqnarray*} A*(x-3) + B*x \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} 1 = A*(x-3) + B*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = Ax - 3A + Bx \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Stimmt die Richtung ungefähr?

14.06.2013, 21:31

alterHund

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der Zähler von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-3} \end{eqnarray*}$ enthält kein x,
daher muß A*x + B*x = (A+B)*x .... ?,
der Zähler
enthält 1*x^0, daher muß -3*A .... ?

14.06.2013, 21:39

NochEinGast

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Danke für deine Antwort!

Nur leider verstehe ich nicht so ganz was Du meist. Würd mich freuen, wenn Du mir nochmal etwas genauer erklären könntest, wo der Fehler liegt. smile

smile

14.06.2013, 21:55

alterHund

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Du hast KEINEN FEHLER gemacht,
sondern
nur nicht zueende gerechnet

was hier gemacht werden muß nennt man Koeffizientenvergleich

der Koeffizient der $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ muß auf beiden Seiten von $\begin{eqnarray*} 1 = Ax - 3A + Bx \end{eqnarray*}$ der gleiche sein,
ebenso der von $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} 0 = A+B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 = -3A \end{eqnarray*}$

14.06.2013, 22:25

NochEinGast

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Oh. Da hab ich was falsch verstanden. Hammer

Hammer

Nochmal zusammenfassend habe ich ja nun den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac 1 {x^2 - 4x + x} \end{eqnarray*}$ in die beiden Partitalbrüche $\begin{eqnarray*} \frac{A * x (x-3)}{x} + \frac{B * x (x-3)}{x-3} \end{eqnarray*}$ zerlegt und anschließend zu $\begin{eqnarray*} A*(x-3) + B*x \end{eqnarray*}$ gekürzt.

Bis hierhin habe ich glaube ich auch alles verstanden.
Nur mit dem Koeffizientenvergleich habe ich nun wieder Probleme unglücklich

unglücklich

Ich habe nun also die Gleichung 1 = Ax - 3A + Bx. Und muss die jetzt quasi "nach den Koeffizienten ordnen" ?

Ax und Bx sind Koeffizienten mit x^0. Deshalb also A + B = 0 ?
Dann bleibt also -3A = 1 übrig. So versuch ich mir das grad zumindest zu erklären..

Aber wie gehts dann weiter? Nun habe ich ja 2 Gleichungen anstelle einer Funktion? verwirrt

verwirrt

14.06.2013, 22:44

NochEinGast

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Sry für den Doppelpost aber hab mir glaube ich gerade die letzte Frage selbst beantworten können.

Aus den beiden Gleichungen:
0 = A + B und
1 = -3A

ein Gleichungssystem konstruieren und so dann A und B bestimmen:

1 = -3A
A = -0,333

0 = A + B
0 = -0,33 + B
B = 0,33

Dann beides oben einfügen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {x(x-3)} = \frac A x + \frac B {x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {x(x-3)} = \frac{-0,33}{x} + \frac{0,33}{x-3} \end{eqnarray*}$

Ergibt dann die Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} ln(-0,33) + ln(0,33) * (x-3) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

14.06.2013, 22:51

alterHund

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$\begin{eqnarray*} A\cdot x+B\cdot x = x\cdot(A+B)\text{ , der }x^1\text{-Koeffizient }A+B\text{ muß} = 0\text{ sein} \end{eqnarray*}$

14.06.2013, 22:55

alterHund

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die $\begin{eqnarray*} \pm 33 \end{eqnarray*}$ gehören als Faktor VOR die $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$

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