Normale Untergruppen - Primzahlordnung

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Nougat Auf diesen Beitrag antworten »
Normale Untergruppen - Primzahlordnung
Meine Frage:
Hallo,

Irgendwie scheint es der ganzen Welt klar zu sein, nur mir nicht:

Sei p eine Primzahl.
Sei G eine Gruppe der Ordnung p^3, und H eine Untergruppe der Ordnung p^2 von G.

Warum ist nun H normal in G?

Meine Ideen:
Man sieht, der Index von G in H ist gerade p. Aber wie hilft mir das weiter?

Schon mal Danke im Voraus,
Liebe Grüße
Nougat
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale Untergruppen - Primzahlordnung
Hallo Nougat,

Wenn Ihr jetzt noch nicht so was wie Nilpotenz behandelt habt (p-Gruppen sind nilpotent und daher gilt für alle echten Untergruppen immer ), dann empfehle ich Dir folgende Fallunterscheidung:

a) P ist abelsch ...
b) P ist nicht abelsch. Dann ist (bekannt?) und Du kannst die Faktorgruppe betrachten.

Gruß
Reksilat
Nougat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die schnelle Antwort.

Wenn P abelsch ist, ist auch jede Untergruppe abelsch, also gilt die Normalteilereigenschaft sowieso ...

Mich interessieren tatsächlich die nichtabelschen Gruppen:

Dass gilt, ist mir klar, damit habe ich mit der Faktorgruppe eine Untergruppe der Ordnung , die normal ist.

Wie man jetzt aber darauf kommt, dass daraus die Normalität für jeder Untergruppe der Ordunng folgt, ist mir unklar ..
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da Reksilat gerade nicht da ist, hoffe ich, dass ich in seinem Sinne weiterführen kann.

Folgendes Lemma ist leicht zu zeigen:

Ist , normal in und normal in , so ist auch normal in .

Mit kannst du das hier natürlich anwenden. Du müsstest nur noch begründen, warum du von ausgehen kannst, wenn eine Untergruppe der Ordnung ist.


PS: Mit dieser Argumentation kriegt man gleichzeitig induktiv, dass jede -elementige Untergruppe einer Gruppe mit Elementen normal ist. (Kurz: Maximale Untergruppen von p-Gruppen sind normal)
Nougat Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich glaube, das habe ich soweit verstanden ...
Wobei ich noch nicht direkt sehe, warum normal in ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

hat die Ordnung und ist demnach abelsch...
 
 
Nougat Auf diesen Beitrag antworten »

Ohja richtig.. Hammer

Vielen Dank!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens noch eine vielleicht interessante Anmerkung hierzu:

Man kann die Aussage verallgemeinern:

Ist eine beliebige endliche Gruppe und H eine Untergruppe so, dass der Index von in gerade die kleinste Primzahl ist, die teilt. (Solch ein H gibt es natürlich manchmal gar nicht)

(D.h. ist nicht nur maximal unter allen echten Untergruppen bzgl. Inklusion, sondern sogar in dem Sinne maximal, dass es keine echte Untergruppe gibt, die mehr Elemente hat).

Dann ist Normalteiler.

Man sieht sofort, dass das in dem Thread zu zeigende ein Spezialfall dieser Aussage war. Man sieht aber auch sofort, dass man die Beweisidee aus diesem Thread in die Tonne kloppen kann, denn über das Zentrum kann man sicher nicht gehen (G kann ja sogar zentrumslos sein).

Der Beweis funktioniert dann, indem man auf der Menge der Nebenklassen operieren lässt und zeigt, dass der Kern dieser Wirkung sein muss.
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