Das De-Méré-Paradoxon und der andere Weg

14.06.2013, 14:10	loosm	Auf diesen Beitrag antworten »
Das De-Méré-Paradoxon und der andere Weg Meine Frage: Unter dem Link: http://de.wikipedia.org/wiki/De-Méré-Paradoxon ist zu sehen, wie man sehr elegant über das Gegenereignis die Wahrscheinlichkeiten berechnen kann, dass nach 4 Würfen mit einem Würfel eine 6 gewürfelt wurde und nach 24 Würfen mit 2 Würfeln eine Doppelsechs gewürfelt wurde. $\begin{eqnarray} P(\text{mind. eine Sechs})=1-P(\text{keine Sechs})=1-\left(\frac56\right)^4\approx 0{,}5177 \approx 52%<br /> <br /> P(\text{mind. eine Doppelsechs})=1-P(\text{keine Doppelsechs})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx 0{,}4914 \approx 49% \end{eqnarray}$ Weil ich lernen wollte ein Würfelproblem auch dann zu lösen, wenn es nicht sinnvoll ist, über das Gegenereignis zu rechnen, habe ich mich in diesem Forum auf die Suche nach einem anderen Weg gemacht, diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Ich möchte hier zeigen, wie ich mit Hilfe dieses Forums und meiner Formelsammlung diesen anderen Weg gefunden habe: Den ersten Hinweis habe ich unter: http://www.matheboard.de/archive/464420/thread.html gefunden. Dieser Hinweis hat meine Suche zunächst in die falsche Richtung gelenkt. siehe dazu : http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung Der nächste Lösungsansatz, den ich in diesem Forum gefunden habe, ist das Würfelproblem von Katrin1234 : http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=465272&hilightuser=45551 Ich habe versucht, den Rechenweg von frank09 auf das Problem anzuwenden und Folgendes gerechnet: 4 über 1 Möglichkeiten eine 6 zu platzieren mal 5 hoch 3 andere Möglichkeiten Omega= 6 hoch 4 $\begin{eqnarray} \frac{{4 \choose 1} \cdot 5^3} {6^4}= \frac{4 \cdot 125}{1296}\approx0,38 \end{eqnarray}$ Weil ich nicht auf die 51 % gekommen bin, habe ich mir in meiner Formelsammlung genauer angeguckt, was N über K bedeutet. [attach]30554[/attach] Ich war zunächst davon irritiert , dass die Buchstabenkombinationen ab,ac,bc sich auf ein Urnenmodell beziehen, dann wurde mir jedoch klar, dass die Buchstaben a,b,c, die Hausnummern der in einer Reihe liegenden Würfel darstellen. Dann ist mir klar geworden, dass ich mit 4 über 1 nur die folgenden Fälle abgedeckt habe: 6**, 6,6,6 , dabei ist mir klar geworden, das ich zum Beispiel mit 4 über 2 auch: 66, 66*, 66 , 66* ,66 , 6*6 berücksichtigen muss. Die vollständige Gleichung lautet also $\begin{eqnarray} <br /> \frac{{4 \choose 1} \cdot 5^3+{4 \choose 2} \cdot 5^2+{4 \choose 3} \cdot 5+{4 \choose 4}} {6^4}<br /> <br /> = \frac{4 \cdot 125+6 \cdot 25+4 \cdot 5+1}{1296}<br /> <br /> =\frac{500+150+20+1}{1296}<br /> <br /> =\frac{671}{1296}<br /> <br /> \approx 0,5177 \end{eqnarray}$ Ich bin mir auch sehr sicher, dass $\begin{eqnarray} <br /> \frac{{48 \choose 2} \cdot 5^{46}+{48 \choose 4} \cdot 5^{44}+{48 \choose 6} \cdot 5^{42}+\cdots{48 \choose 48}} {6^{48}}\approx0,4914<br /> \end{eqnarray}$ Der Aufwand, es nachzurechnen ist mir aber zu groß Meine Ideen:* Ich stelle keine Frage. Ich möchte nur zeigen, wie ich mit Hilfe dieses Forums mir eine Frage alleine beantworten konnte.
14.06.2013, 17:02	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast keine Frage, aber es ist sehr gut, dass du trotzdem schreibst! Die von dir gefundene Formel für den einzelnen Würfel kann man erläutern mit: "Mindestens eine Sechs in vier Würfen" heißt: "genau eine Sechs oder genau zwei Sechser oder genau drei Sechser oder genau vier Sechser". Sie ist absolut korrekt! Darin liegt auch der Grund, warum deine Formel für den Doppelwurf falsch ist. Die Anzahl der Möglichkeiten für "genau eine Doppelsechs" formulierst du mit $\begin{eqnarray} {48 \choose 2} \cdot 5^{46} \end{eqnarray}$ . Dies beinhaltet aber beispielweise den Fall eine Sechs an erster und eine Sechs an 17. Stelle zu haben. Das ist keine Doppelsechs. Wichtig ist nämlich, dass z.B. die zwei Würfe "5 6" und "1 6" zwar insgesamt zwei Sechser enthalten, aber keine einzige Doppelsechs beinhalteten. Es ist hier leichter sich das Experiment in 24 Wiederholungen zu gliedern und dann das Einzelexperiment aufzudruseln: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Doppelsechs im doppelten Würfelwurf? Und wie groß ist ihre Gegenwahrscheinlichkeit.
15.06.2013, 09:39	loosm	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich versucht hätte, mit meiner Methode die Wahrscheinlichkeit für eine Doppelsechs im doppelten Würfelwurf zu berechnen, hätte ich meinen Denkfehler schnell selbst bemerkt, weil das Ergebnis dieser Methode nicht mit $\begin{eqnarray} 1-\left(\frac{35}{36}\right)^2 \end{eqnarray}$ übereinstimmt. Es ist ein guter Rat, einen Rechenweg an einer einfachen Aufgabe zu testen . Danke für den Hinweis
16.06.2013, 17:02	loosm	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Idee Ich bin mir auch diesmal sehr sicher, dass $\begin{eqnarray} \frac{{24 \choose 1} \cdot35^{23}+{24 \choose 2} \cdot 35^{22}+{24 \choose 3} \cdot 35^{21}+\cdots{35 \choose 35}} {36^{24}}\approx0,4914 \end{eqnarray}$ Diesmal mache ich einen Test, ob die Methode funktioniert. $\begin{eqnarray} <br /> \frac{{4 \choose 1} \cdot 35^3+{4 \choose 2} \cdot35^2+{4 \choose 3} \cdot35+{4 \choose 4}} {36^4}<br /> <br /> = \frac{4 \cdot 42875+6 \cdot 1225+4 \cdot 35+1}{1679616}<br /> <br /> =\frac{171500+7350+140+1}{1679616}<br /> <br /> =\frac{178991}{1679616}<br /> <br /> =1-\left(\frac{35}{36}\right)^4<br /> <br /> \approx 0,1065<br /> \end{eqnarray}$
21.07.2013, 15:14	loosm	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathe inspiriert zum programmieren, Mir sind 2 Scripte zu diesem Beitrag eingefallen. Windowsnutzer können den Editor öffnen, die Programmcodes jeweils über die Zwischenablage einfügen und die Dateien mit der Endung „ VBS „ abspeichern. VBS ist die Abkürzung für Visual Basic Script. Die Scripte werden durch einen Doppelklick auf die jeweiligen Dateien gestartet. Hier ist der Programmcode des Würfelwahrscheinlichkeitsrechners: Dim A,B,Erg A=Inputbox("Würfelwahrscheinlichkeitsrechner : Bitte Die Würfelseitenanzahl eingeben") B=Inputbox("Würfelwahrscheinlichkeitsrechner : Bitte Die Anzahl der Würfe eingeben") Erg = 1- ((A-1)/A)^B msgbox "Wenn sie mit einem "& A &" seitigen Würfel "& B &" mal würfeln, liegt die Wahrscheinlichkeit dafür das eine bestimmte Zahl erscheint bei "& Erg100&" %" Als ich den Beitrag geschrieben hatte, habe ich ab und zu einen online Rechner für Nüber K benutzt: http://www.jetzt-rechnen.de/Mathematik/B...oeffizient.html Ich fand es ein bischen unpraktisch dafür online zu sein. Deshalb habe ich meinen eigenen N über K Rechner programmiert. Hier ist der Programmcode: Dim Nfak Dim Kfak Dim Z Dim X Dim Y Dim Erg N=Inputbox("N über K Rechner : Bitte N eingeben") K=Inputbox("N über K Rechner : Bitte K eingeben") IF K=0 AND N>=0 Then Msgbox n &" über " & K & " = " & 1 Else Z=N-K X=Fakultaet(Z) Z=N Nfak=Fakultaet(Z) Z=K Kfak=Fakultaet(Z) Y = Nfak / (Kfak X) Msgbox n &" über " & K & " = " & Y Function Fakultaet(Z) If Z = 0 Then Erg = 1 Else Erg = Fakultaet(Z - 1) * Z End If Fakultaet = Erg End Function End IF

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