Faktorieller Ring

14.06.2013, 14:31	jordanchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorieller Ring Hallo, ich würde gerne beweisen, dass der Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt 14] := \left \{ a+b\sqrt{14} \ \| \ a,b \in \mathbb Z \right \} \end{eqnarray}$ faktoriell ist. DEF.: Ein Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ heißt faktoriell, wenn jedes $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ in ein Produkt von Primelementen zerlegt werden kann. Des Weiteren ist mir bekannt, dass in faktoriellen Ringen die Begriffe "prim" und "irreduzibel" zusammenfallen und es eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt. Nun ist es ja leichter, zu zeigen, dass ein Ring nicht faktoriell ist, als zu zeigen, dass er faktoriell ist, denn Gegenbeispiele lassen sich leichter finden, z. B. Elemente, die irreduzibel aber nicht prim sind. Aber wie zeigt man, dass ein Ring, speziell der Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt 14] \end{eqnarray}$ , faktoriell ist? Viele Grüße jordanchen
14.06.2013, 15:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob das so einfach geht? Schau einmal hier auf Seite 40/41.
14.06.2013, 16:10	jordanchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich über Google auch gefunden, aber da wird natürlich zu viel vorausgesetzt in dieser Arbeit. Ich müsste die Aufgabe nur mit der Definition (bzw. das, was ich im 1. Posting angegeben habe) lösen. LG jordanchen

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