Komplexes Integral berechnen

14.06.2013, 18:51

Matheversteher

Komplexes Integral berechnen

Hallo alle zusammen smile

,

Ich soll folgendes komplexes Integral lösen und habe da ein paar Fragen zur Verständnis.

$\begin{eqnarray*} f(z)=|z| \end{eqnarray*}$ soll von i nach -i über die direkte Strecke der imaginären Achse integriert werden.

Meine Lösung:
Der zu integrierende Bereich liegt auf der Geraden $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=i-2it \end{eqnarray*}$ . Meine Integratiosngrezen sind somit 0 und 1.

Mit der Formel
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! f(z) \, dz = \int_0^1 \!f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt \end{eqnarray*}$
folgt

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \sqrt{(1-2t)^2} \cdot (-2i)\, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-2i \cdot [t-t^2]_{0}^{1} =0 \end{eqnarray*}$

Aber das stimm doch nicht, wenn ich mir die Funktion |z| auf Wolfram Alpha anschaue, dann müsste das Integral doch -i sein, oder irre ich jetzt da? Wo ist mein Fehler? verwirrt

Ich bitte um Hilfe.

14.06.2013, 19:11

Che Netzer

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RE: Komplexes Integral berechnen
Beim Einsetzen von $\begin{eqnarray*} f(\gamma(t)) \end{eqnarray*}$ scheint irgendetwas schiefgegangen zu sein.
Du brauchst dabei noch eine Fallunterscheidung.

14.06.2013, 19:33

Matheversteher

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Ok, ich rate jetzt blind. Durch die Wurzel oder das Quadrat

Zitat:

... $\begin{eqnarray*} \sqrt{(1-2t)^2}... \end{eqnarray*}$

muss ich beim Auflösen Betragstriche setzen. Wahrscheinlich wird es dann so aussehen $\begin{eqnarray*} \int_0^1\!|(1-2t)|\, dt \end{eqnarray*}$ verwirrt

Kannst du mir das erklären, warum ich die da setze?!

Edit: Nach gerechnet habe ich es. Ich muss das Integral an der Nullstelle teilen. Das heißt ich habe $\begin{eqnarray*} -2i(\int_0^{\frac12}\!(1-2t)\, dt +\int_{\frac12}^1\!(-1+2t)\, dt)=i \end{eqnarray*}$

Wie gesagt ersichtlich ist es für mich nicht, alleine wäre ich jetzt so nicht darauf gekommen und würde es bestimmt wieder falsch machen.

14.06.2013, 19:35

Che Netzer

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Du musst eigentlich grundsätzlich Betragsstriche setzen, wenn du etwas in $\begin{eqnarray*} f(z)=\lvert z\rvert \end{eqnarray*}$ einsetzt.
Woher kommen dein Quadrat und die Wurzel denn?

14.06.2013, 19:42

Matheversteher

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Also ich habe den Weg $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=i-2it=i(1-2t) \end{eqnarray*}$ in f(z) eingesetzt.
Ich erhalte $\begin{eqnarray*} f(\gamma(t))=|i(1-2t)|=\sqrt{(1-2t)^2} \end{eqnarray*}$ da ich ja nur einen imaginären Teil habe. Sprich wenn $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=1-2t \end{eqnarray*}$ . War das falsch?

14.06.2013, 19:46

Che Netzer

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Nein, aber wenn du einen Betrag zur Wurzel aus einem Quadrat umformst, brauchst du dich nicht zu wundern, dass letztere ein Betrag ist.
Alternativ:
$\begin{eqnarray*} \lvert\mathrm i(1-2t)\rvert=\underbrace{\lvert\mathrm i\rvert}_{=1}\lvert1-2t\rvert\,. \end{eqnarray*}$

14.06.2013, 19:48

Matheversteher

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Kurz und Knapp: Ich habe falsch umgeformt?!

14.06.2013, 19:50

Che Netzer

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Bis zur Wurzel aus dem Quadrat ist noch alles in Ordnung. Nur der Wert deines Integrals bzw. deine Stammfunktion war falsch.

14.06.2013, 21:39

Leopold

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Du solltest erst deinen bisherigen Ansatz weiterverfolgen und zu Ende rechnen, bevor du dich (eventuell) der folgenden Alternative widmest.

Du hast ein bißchen ungeschickt parametrisiert. Du kannst einfach $\begin{eqnarray*} z = \operatorname{i}t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1 \leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$ nehmen. Da dabei die Strecke in der der gewünschten entgegengesetzten Richtung durchlaufen wird, muß man das mit einem Minuszeichen vor dem Integral kompensieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} |z| ~ \dd z = - \int_{-1}^1 \left| \operatorname{i}t \right| \cdot \operatorname{i} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Jetzt vereinfache das noch ein bißchen. Die Fallunterscheidung, von der Che Netzer gesprochen hat, wird auch hier fällig, kann aber mittels einer Symmetriebetrachtung (Integrand ist eine gerade reelle Funktion) umgangen werden.

15.06.2013, 16:00

Matheversteher

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Habe jetzt eine Nacht drüber geschlafen.

Also, das Problem bei meiner Parametriesierung war, dass der Startpunkt nicht mein Nullpunkt ist,sondern in i starte. Ich habe das ganze jetzt nochmal gerechnet, allerdings so ganz habe ich es noch nicht weshalb ich das Integral splitten muss (weil ich eine Nullstelle im Integrationsweg habe habe?! verwirrt

)

Hallo Leopold Wink

deine gegebene Alternative habe ich gerechnet. Ich glaube, dass der Integrationsweg einfacher ist, da dieser (wie du sagtest mein Integral symmetrisch teilt.

$\begin{eqnarray*} \int_1^{-1} \! f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_1^{-1} \! |it|\cdot i \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_1^{-1} \! \sqrt{t^2}\cdot i \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =i(\int_1^{0} \! t \, dt + \int_0^{-1} \! -t \, dt)... \end{eqnarray*}$

Dazu muss ich jetzt sage, dass ich das "-" im zweiten Teilintegral wieder nicht gesetzt habe zu Begin (alternativ, hätte ich das erste Teilintegral mit "2" multiplizieren können, wegen der Symmetrie).

Ich denke solangsam fällt der Groschen. Ich danke euch beiden,sofern jetzt alles richtig ist Freude

15.06.2013, 16:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von Matheversteher
weil ich eine Nullstelle im Integrationsweg habe habe?! verwirrt

Ja, eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel dessen, was im Betrag steht.

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