stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein |
14.06.2013, 18:58 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein Bestimme die stationären Punkte (Punkte mit waagrechter Tangentialebenen) der Funktion Entscheide dabei, welche dieser Punkte lokale Minima, lokale Maxima oder Sattelpunkte sind! Meine Ideen: Ich hab erstmal bestimmt, als Grundlage. Wäre jetzt ein Punkt gegeben, könnte man den ja einsetzen und nach dieser einen Determinante, je nachdem ob X größer/kleiner als 0 ist. Aber da man hier leider nix einsetzen kann, ist es sehr sehr schwierig. Ich habe außerdem versucht zu bestimmen. Sollte ich jetzt eine Fallunterscheidung machen? Und an welcher Stelle? Meine Rechnungen: |
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14.06.2013, 19:15 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein!
Da verwechselst du wohl etwas mit dem Satz von der impliziten Funktion [attach]24103[/attach]
Hier steckt sicher nur ein Tippfehler. Stationäre Punkte sind gerade diejenigen, an denen die Ableitung (hier der Gradient/die Jacobi-Matrix) verschwindet. |
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14.06.2013, 19:22 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein! "
Hier steckt sicher nur ein Tippfehler. " Das ist (leider) ein Tippfehler, ich habe es so ausgerechnet und bei Wolfram Alpha kommt das gleiche raus Sollte man dann einfach mit 0 setzen? |
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14.06.2013, 19:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein! Ja, du brauchst alle Lösungen des Gleichungssystems |
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14.06.2013, 19:29 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich die beiden Gleichungen gleichsetze, kann ich ja die eine nach 12y auflösen und in die andere einsetzen, nachdem ich durch 6 teile erhalte ich dann: und die Gleichung wird 0, wenn gilt: |
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14.06.2013, 19:32 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als erstes solltest du deine partielle Ableitung nach korrigieren. |
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14.06.2013, 19:39 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein!
Hier steckt sicher nur ein Tippfehler. jetzt |
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14.06.2013, 19:42 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so, ich habe jetzt nach aufgelöst und eingesetzt, durch 12 dividiert und erhalte: Die Gleichung stimmt, wenn: |
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14.06.2013, 19:44 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schon besser. Du kannst übrigens auch betrachten, anstatt aufzulösen. Wenn du jetzt annimmst, wann ist dann ? |
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14.06.2013, 19:50 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn oder wird ! (Weg: in die Gleichung statt einfach eingesetzt) |
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14.06.2013, 19:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Deine stationären Punkte sind also und . (Überzeug dich davon, dass keine neuen Informationen liefert) Kannst du die nun weiter klassifizieren? |
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14.06.2013, 20:19 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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14.06.2013, 21:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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15.06.2013, 11:53 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zusammenfassend: und werden wenn: oder oder Also hat man ja quasi 4 Punkte, nämlich: Ich hab die alle in und und eingesetzt und erhalte aber immer Werte über 0 und 2x genau 0. Wenn ich das in die HesseMatrix eingebe, rhalte ich IMMER einen Wert über 0. Abre das würde ja beudeutet, die 4 obigen Punkte sind alle Maxima?! |
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15.06.2013, 12:10 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da hast du zu viele Lösungen. |
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15.06.2013, 12:14 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe 2x und 2y und habe die verbunden |
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15.06.2013, 12:18 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber aus folgt ja noch nicht . Die Lösung hast du erhalten, nachdem du gesetzt hast. Etwas mehr Sorgfalt wäre durchaus angebracht. Das Lösen eines solchen Gleichungssystems sollte keine Probleme bereiten. |
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15.06.2013, 12:30 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab jetzt ausgerechnet: Man bekommt also die 3 Punkte: A(0/0) B(4/0) C(1/-1) (C ist der Sattelpunkt, weil er nicht aus 2 einfachen x besteht, sondern aus einem doppelten x.) |
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15.06.2013, 12:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Woher kommt das? Ist etwa ?
Was soll das bedeuten? |
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15.06.2013, 12:57 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab die 2 ausgerechnteen y-Werte in eingesetzt und hab dann neue x-bekommen --> Man hat Punkte |
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15.06.2013, 13:03 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Man hat Punkte"? Naja, egal. Wir waren ja schon bei der Bedingung angelangt. Nur dann kann sein. Also kann keine Nullstelle der Ableitung sein. |
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15.06.2013, 13:24 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich erhalte die zwei Punkte und Aber eig. bräuchte man ja 3 Punkte |
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15.06.2013, 13:26 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso bräuchte man drei Punkte? |
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15.06.2013, 13:28 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, die Aufgabe sagt ja gar nicht, dass alle 3 möglichen Punkte existieren, man soll nur sagen, welcherspezielle die berechneten sind. Wenn man sich die Punkte A ud B vorstellt, ist B tiefer als A. Und wenn es ein Maximum gibt, muss es auch ein Minimum geben bei einer x³ FUnktion, bzw. 1 Wende/Sattelpunkt. Da es hier ja 2 Punkte gibt muss: A(0/0) Maximum B(1/-1) Minimum |
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15.06.2013, 13:35 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da gehst du von eindimensionalen Funktionen aus. Mit mehreren Veränderlichen muss das alles nicht mehr gelten. (im Eindimensionalen wäre das aber eine schöne Argumentation!) |
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15.06.2013, 13:46 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt hat es geschnackselt :P Die 2 Punkte A und B einfach in die 2. Ableitungen einsetzen nach der einen Determinantenformel (Hessematrix) SOmit erhalte ich 2 statuionäre Punkte: Sattelpunkt, da Maximum, da |
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15.06.2013, 13:53 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stationär sind die Punkte ja sowieso schon Dass der Nullpunkt ein Sattelpunkt ist, hätte man übrigens auch mit sehen können. Dein Punkt ist aber kein Maximum – das ist ja auch nicht das, was eine positiv definite zweite Ableitung impliziert. |
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15.06.2013, 14:22 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber das ist doch die Rechnung?^^ |
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15.06.2013, 14:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ob die Rechnung stimmt, weiß ich nicht; das sind mir zu viele Zahlen Die Folgerung ist nur falsch. Betrachte z.B. . Welches Vorzeichen hat die zweite Ableitung dort in der Minimalstelle? Wie lautet das Kriterium für Extrema anhand der Hesse-Matrix? |
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22.06.2013, 17:49 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich hab die Aufgabe jetzt (hatte nen kleinen Fehler auf meiner Formelsammlung..... deswegen hab ich Max statt Min geschrieben ) Punkte und einzeln in Hessematrix einsetzen: A: : Sattelpunkt B: : Extrempunkte () : MINIMUM |
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22.06.2013, 17:54 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die Hesse-Matrix im Nullpunkt benötigt man aber wie gesagt nicht. |
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22.06.2013, 20:28 | DannyDre | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah cool, wie würds noch gehen? Professor hats auch mit Hesse Matrix gerechnet |
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22.06.2013, 21:08 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der einen Richtung steigen die Funktionswerte, in der anderen fallen sie. Das kann kein Extremum sein. |
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