stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein

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DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »
stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein
Meine Frage:
Bestimme die stationären Punkte (Punkte mit waagrechter Tangentialebenen) der Funktion


Entscheide dabei, welche dieser Punkte lokale Minima, lokale Maxima oder Sattelpunkte sind!

Meine Ideen:
Ich hab erstmal bestimmt, als Grundlage.

Wäre jetzt ein Punkt gegeben, könnte man den ja einsetzen und nach dieser einen Determinante, je nachdem ob X größer/kleiner als 0 ist.
Aber da man hier leider nix einsetzen kann, ist es sehr sehr schwierig.

Ich habe außerdem versucht zu bestimmen.

Sollte ich jetzt eine Fallunterscheidung machen? Und an welcher Stelle?

Meine Rechnungen:





Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein!
Zitat:
Original von DannyDre
Ich habe außerdem versucht zu bestimmen.

Da verwechselst du wohl etwas mit dem Satz von der impliziten Funktion [attach]24103[/attach]

Zitat:

Hier steckt sicher nur ein Tippfehler.


Stationäre Punkte sind gerade diejenigen, an denen die Ableitung (hier der Gradient/die Jacobi-Matrix) verschwindet.
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein!
"
Zitat:

Hier steckt sicher nur ein Tippfehler.
"

Das ist (leider) ein Tippfehler, ich habe es so ausgerechnet und bei Wolfram Alpha kommt das gleiche raus Big Laugh

Sollte man dann einfach mit 0 setzen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein!
Ja, du brauchst alle Lösungen des Gleichungssystems
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die beiden Gleichungen gleichsetze, kann ich ja die eine nach 12y auflösen und in die andere einsetzen, nachdem ich durch 6 teile erhalte ich dann:



und die Gleichung wird 0, wenn gilt:
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes solltest du deine partielle Ableitung nach korrigieren.
 
 
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stationäre Punkte bestimmen - ohne Punkt gegeben --> allgemein!
Zitat:
Original von DannyDre

[quote]

Hier steckt sicher nur ein Tippfehler.

jetzt Big Laugh
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

so, ich habe jetzt nach aufgelöst und eingesetzt, durch 12 dividiert und erhalte:



Die Gleichung stimmt, wenn:


Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Schon besser.
Du kannst übrigens auch betrachten, anstatt aufzulösen.

Wenn du jetzt annimmst, wann ist dann ?
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

wenn

oder


wird !

(Weg: in die Gleichung statt einfach eingesetzt)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Deine stationären Punkte sind also und .

(Überzeug dich davon, dass keine neuen Informationen liefert)

Kannst du die nun weiter klassifizieren?
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DannyDre
wenn

oder


wird !

(Weg: in die Gleichung statt einfach eingesetzt)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Kannst du die nun weiter klassifizieren?
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammenfassend:

und werden wenn:
oder
oder

Also hat man ja quasi 4 Punkte, nämlich:


Ich hab die alle in und und eingesetzt und erhalte aber immer Werte über 0 und 2x genau 0.
Wenn ich das in die HesseMatrix eingebe, rhalte ich IMMER einen Wert über 0.
Abre das würde ja beudeutet, die 4 obigen Punkte sind alle Maxima?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du zu viele Lösungen.
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe 2x und 2y und habe die verbunden Big Laugh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Aber aus folgt ja noch nicht .
Die Lösung hast du erhalten, nachdem du gesetzt hast.

Etwas mehr Sorgfalt wäre durchaus angebracht. Das Lösen eines solchen Gleichungssystems sollte keine Probleme bereiten.
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt ausgerechnet:





Man bekommt also die 3 Punkte:

A(0/0)
B(4/0)
C(1/-1)

(C ist der Sattelpunkt, weil er nicht aus 2 einfachen x besteht, sondern aus einem doppelten x.)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DannyDre

Woher kommt das?
Ist etwa ?

Zitat:
(C ist der Sattelpunkt, weil er nicht aus 2 einfachen x besteht, sondern aus einem doppelten x.)

Was soll das bedeuten?
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die 2 ausgerechnteen y-Werte in eingesetzt und hab dann neue x-bekommen --> Man hat Punkte
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

"Man hat Punkte"? Naja, egal.
Wir waren ja schon bei der Bedingung angelangt.
Nur dann kann sein.
Also kann keine Nullstelle der Ableitung sein.
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

ich erhalte die zwei Punkte und

Aber eig. bräuchte man ja 3 Punkte unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso bräuchte man drei Punkte?
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, die Aufgabe sagt ja gar nicht, dass alle 3 möglichen Punkte existieren, man soll nur sagen, welcherspezielle die berechneten sind.

Wenn man sich die Punkte A ud B vorstellt, ist B tiefer als A.
Und wenn es ein Maximum gibt, muss es auch ein Minimum geben bei einer x³ FUnktion, bzw. 1 Wende/Sattelpunkt. Da es hier ja 2 Punkte gibt muss:

A(0/0) Maximum
B(1/-1) Minimum
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da gehst du von eindimensionalen Funktionen aus.

Mit mehreren Veränderlichen muss das alles nicht mehr gelten.

(im Eindimensionalen wäre das aber eine schöne Argumentation!)
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hat es geschnackselt :P

Die 2 Punkte A und B einfach in die 2. Ableitungen einsetzen nach der einen Determinantenformel (Hessematrix)

SOmit erhalte ich 2 statuionäre Punkte:

Sattelpunkt, da
Maximum, da
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Stationär sind die Punkte ja sowieso schon Augenzwinkern

Dass der Nullpunkt ein Sattelpunkt ist, hätte man übrigens auch mit sehen können.

Dein Punkt ist aber kein Maximum – das ist ja auch nicht das, was eine positiv definite zweite Ableitung impliziert.
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DannyDre

Maximum, da


Aber das ist doch die Rechnung?^^
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ob die Rechnung stimmt, weiß ich nicht; das sind mir zu viele Zahlen Big Laugh

Die Folgerung ist nur falsch.
Betrachte z.B. . Welches Vorzeichen hat die zweite Ableitung dort in der Minimalstelle?

Wie lautet das Kriterium für Extrema anhand der Hesse-Matrix?
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab die Aufgabe jetzt (hatte nen kleinen Fehler auf meiner Formelsammlung..... deswegen hab ich Max statt Min geschrieben Big Laugh )

Punkte

und


einzeln in Hessematrix einsetzen:

A: : Sattelpunkt

B: : Extrempunkte () : MINIMUM
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Hesse-Matrix im Nullpunkt benötigt man aber wie gesagt nicht.
DannyDre Auf diesen Beitrag antworten »

Ah cool, wie würds noch gehen?
Professor hats auch mit Hesse Matrix gerechnet Big Laugh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Dass der Nullpunkt ein Sattelpunkt ist, hätte man übrigens auch mit sehen können.

In der einen Richtung steigen die Funktionswerte, in der anderen fallen sie. Das kann kein Extremum sein.
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