Beweis (Skalarmultiplikation)

14.06.2013, 22:45

vektoravbeweis

Beweis (Skalarmultiplikation)

Meine Frage:
Hallo!

Im Grunde ist das Thema nicht sehr kompliziert: Vektorräume, Vektorraumaxiome, einfache Rechenregeln.

Einen kleinen Beweis verstehe ich allerdings nicht so ganz. Hier der Beweis in voller Kürze:

v ist beliebiger Vektor
a ist bel. Skalar
o ist Nullvektor

$\begin{eqnarray*} a * v = o \Rightarrow 1) a = 0, dann folgt 2) a \neq 0 zu zeigen: v = o Wegen a \neq 0 existiert a^{-1} a^{-1} * (a * v) = a^{-1} * 0 = o -( a^{-1} * a) * v = 1 * v = v \end{eqnarray*}$

Was ich nicht verstehe:

1. Warum wird in der ersten Zeile a^-1 verwendet? Warum keine andere Zahl? Was soll die erste Zeile überhaupt beweisen / aussagen?

2. Warum heißt es in der zweiten Zeile 1 * v, wenn
$\begin{eqnarray*} -( a^{-1} * a) \end{eqnarray*}$ doch eigentlich -1 ist?

Meine Ideen:
Ich weiß es nicht. All meine Ideen sind unlogisch.

Hilfe, bitte ...

15.06.2013, 09:36

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis (Skalarmultiplikation)

Zitat:

Original von vektoravbeweis
Hier der Beweis in voller Kürze:

In voller Länge oder in aller Kürze? verwirrt

Auf jeden Fall ist er kaum lesbar.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1) a = 0, dann folgt \end{eqnarray*}$

Und was soll das eigentlich heißen?
Was soll bewiesen werden?
Dass aus $\begin{eqnarray*} av=o \end{eqnarray*}$ entweder $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v=o \end{eqnarray*}$ folgt?

Zitat:

1. Warum wird in der ersten Zeile a^-1 verwendet?

Die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liefert einem die Eins als Faktor. Und für die Skalarmultiplikation mit Eins hat man ein nettes Axiom.

Zitat:

Was soll die erste Zeile überhaupt beweisen / aussagen?

Was bewiesen werden soll, müsstest du wissen.
Und ich kann auch nur raten, was du mit der "ersten Zeile" meinst?

Zitat:

2. Warum heißt es in der zweiten Zeile 1 * v, wenn
$\begin{eqnarray*} -( a^{-1} * a) \end{eqnarray*}$ doch eigentlich -1 ist?

Das Minuszeichen vor $\begin{eqnarray*} (a^{-1}a) \end{eqnarray*}$ ist schon fehl am Platz.

Und schreibt ihr wirklich $\begin{eqnarray*} o \end{eqnarray*}$ für den Nullvektor?

15.06.2013, 11:56

vektoravbeweis

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis (Skalarmultiplikation)
Ja, mit deiner Vermutung liegst du richtig. a ist 0 oder eben ungleich 0, das soll bewiesen werden. Das führt zu einer Fallunterscheidung, also zu 1) und 2).

Mit "1. Zeile" meine ich die erste Zeile unter dem Satz, der mit "Wegen" beginnt. Da verstehe ich, wie gesagt, nicht, warum a^-1 verwendet wird. Denn dort wird die Multiplikation mit a ja gar nicht durchgeführt, sondern av = o gesetzt, was laut der Ausgangsgleichung zwar korrekt ist, aber: Warum wird dann überhaupt a^-1 verwendet, wenn man es in dieser Gleichung gar nicht benötigt? (Und was soll mir diese Zeile insgesamt überhaupt sagen?)

Dass aus a^-1 und a eine 1 wird, passiert ja erst in der zweiten Zeile. Die "2. Zeile" ist die letzte in Latex geschriebene Zeile. (Jetzt müsstest du dich orientiert haben.) Wobei ich da eben ein Problem mit dem Minus habe, das (aus welchem Grund?) auftaucht und nach dem ersten Gleichheitszeichen (aus welchem Grund?) wieder verschwindet.

Wir schreiben nicht o für den Nullvektor, sondern meistens eine Null mit Kringel (erinnert ein wenig (!) an ein kleines Theta).

15.06.2013, 12:15

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis (Skalarmultiplikation)

Zitat:

Original von vektoravbeweis
a ist 0 oder eben ungleich 0, das soll bewiesen werden.

Wenn nur das bewiesen werden soll, ist das trivial, denn natürlich gilt immer $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Da verstehe ich, wie gesagt, nicht, warum a^-1 verwendet wird.

Weil man eben auf den Vorfaktor Eins kommen möchte.

Zitat:

Denn dort wird die Multiplikation mit a ja gar nicht durchgeführt, sondern av = o gesetzt

Doch, es wird $\begin{eqnarray*} av=0 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten (von links) mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert.

Zitat:

Warum wird dann überhaupt a^-1 verwendet, wenn man es in dieser Gleichung gar nicht benötigt?

Was meinst du denn mit "verwendet" und "benötigt"? verwirrt

Zitat:

(Und was soll mir diese Zeile insgesamt überhaupt sagen?)

Die sagt, dass unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} av=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq0 \end{eqnarray*}$ , die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^{-1}(av)=a^{-1}\cdot0=0 \end{eqnarray*}$
gilt.

Zitat:

Wobei ich da eben ein Problem mit dem Minus habe, das (aus welchem Grund?) auftaucht und nach dem ersten Gleichheitszeichen (aus welchem Grund?) wieder verschwindet.

Das Minus ist wie gesagt falsch.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis (Skalarmultiplikation)

Verwandte Themen