Anfangswertproblem: Lösung nachweisen

15.06.2013, 02:25

danooh

Anfangswertproblem: Lösung nachweisen

Hallo

sitze hier nun seit einiger Zeit an einer Aufgabe, und komme einfach auf keinen grünen Zweig. (Das Thema AWP ist nicht so ganz meins bis jetzt)

Also zur Aufgabe:
Es ist folgendes AWP gegeben:
Es seien $\begin{eqnarray*} c,s:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
Lösungen des AWP:
$\begin{eqnarray*} c'(t)=-s(t), s'(t)=c(t), c(0)=1, s(0)=0 \end{eqnarray*}$ (i)
Man zeige für alle $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,dass $\begin{eqnarray*} c(-t)=c(t), s(-t)=-s(t) \end{eqnarray*}$ gilt, indem man nachweist, dass $\begin{eqnarray*} t\Rightarrow c(-t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\Rightarrow -s(-t) \end{eqnarray*}$ auch ein Paar von Lösungen des AWP ist.

Kann mir jemand einen Hinweis geben, wie ich vorgehen sollte?
Überprüfe ich die "neuen" Funktionen einfach auf die Eigenschaften (i)?

15.06.2013, 07:57

Bartolomeo

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Richtig. c(-t) und -s(-t) erfüllen offensichtlich die Anfangswerte.
Außerdem gilt:
$\begin{eqnarray*} I: \left(c(-t)\right)'=-c'(-t)=-s(-t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: \left(-s(-t)\right)'=... \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 08:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von Bartolomeo
$\begin{eqnarray*} I: \left(c(-t)\right)'=-c'(-t)=-s(-t) \end{eqnarray*}$

Hier steckt ein Vorzeichenfehler.

15.06.2013, 09:13

Bartolomeo

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Zitat:

Original von Bartolomeo
$\begin{eqnarray*} I: \left(c(-t)\right)'=-c'(-t)={\color{red}+}s(-t) \end{eqnarray*}$

Danke

15.06.2013, 10:13

danooh

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Super, danke smile

Und wenn das gezeigt ist, bin ich fertig?
Lösungen von AWP sind ja eindeutig, und da beides Lösungen sind muss ja $\begin{eqnarray*} c(-t)=c(t), s(-t)=-s(t) \end{eqnarray*}$ gelten, oder?

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