Integragalrechnung - Partielle Integration ln(x^1/3)

15.06.2013, 08:55

Daniel0815

Integragalrechnung - Partielle Integration ln(x^1/3)

Guten Morgen Leute. Ich brauche mal wieder eure Hilfe vermutlich für ein sehr einfaches Problem!?
Folgende Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} \int\! ln\sqrt[3]{x}\, dx \end{eqnarray*}$

Lösung vom Professor: $\begin{eqnarray*} x*ln\sqrt[3]{x} -\frac{x}{3}+C \end{eqnarray*}$

Wie komme ich den auf $\begin{eqnarray*} \frac{x}{3} \end{eqnarray*}$ ??

Ich hab schon einiges probiert und ich komme einfach nicht darauf. Bei mir kommt nicht
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3} \end{eqnarray*}$
sondern
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x} \end{eqnarray*}$
raus!
Kann jemand erkennen was ich falsch mache und mir einen Tipp geben? Ich überlege schon seid gestern Abend und langsam hab ich keine Lust mehr auf diese Aufgabe.

15.06.2013, 09:18

alterHund

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wende erstmal die Log.gesetzte an; dann wird der Integrand zu lnx;
u = lnx, v' = 1

15.06.2013, 09:35

Daniel0815

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Den Ansatz hab ich so gewählt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^{\frac{1}{3} } ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{3x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=x \end{eqnarray*}$

Und dann die allgemeine Formel der partiellen Integration verwendet.

Mit deinem Hinweis alterHund kann ich nichts anfangen. Kannst du genauer erklären was du meinst. Danke.

15.06.2013, 10:09

alterHund

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$\begin{eqnarray*} \int \ln \sqrt[3]{x} \,\d x = \frac{1}{3}\int \ln x \, dx = \frac{1}{3}\left( x\cdot \ln x - \int \frac{x}{x} \dx \right) \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 10:17

Daniel0815

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alterHund is ja nett das du hier antwortest. Danke hierfür. Aber die Antworten helfen mir nicht. Die frustrieren nur.

Ich bräuchte Hilfe von jemanden der es mir kurz erklären kann!

15.06.2013, 10:25

alterHund

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sieh Dir einfachn nochmals Deine Unterlagen zur partiellen Integration an

15.06.2013, 10:35

apriliaric

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Zitat:

Original von Daniel0815

$\begin{eqnarray*} g(x)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=x \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht, denn wenn $\begin{eqnarray*} g(x)=1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=0 \end{eqnarray*}$ .
(dort könnte der Fehler liegen)
ich würde auch die Log.-Gestze anwenden und dann wie schon von alterHund erwähnt patiell Integrieren.

15.06.2013, 11:28

Daniel0815

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Ist natürlich umgekehrt. g(x)=x und g'(x)=1.

Ich kann die Lösung jetzt nachvollziehen. Aber log Gesetze brauchte ich dafür nicht verwirrt

Einfach die Formel für die Integration von Potenzen benutzt.

$\begin{eqnarray*} x^{n} =\frac{x^{n+1} }{n+1} \end{eqnarray*}$

Trotzdem danke für eure Hilfe. Schönes WE Prost

15.06.2013, 12:29

Che Netzer

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Zitat:

Original von Daniel0815
Aber log Gesetze brauchte ich dafür nicht verwirrt

Dann hast du wohl $\begin{eqnarray*} \ln\sqrt[3]x \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel abgeleitet.
Wesentlich einfacher und schöner wäre die Rechnung nach der Umformung
$\begin{eqnarray*} \ln\sqrt[3]x=\frac13\ln x\,. \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{n} =\frac{x^{n+1} }{n+1} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung ist natürlich Unsinn.

15.06.2013, 13:43

Daniel0815

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Jo stimmt sieht gleich einfacher aus...Danke!

f(x)=x^n F(x)=(x^n+1)/(n+1) So is besser Augenzwinkern

Die Panik vor diesen Aufgaben blockiert manchmal den Verstand.

15.06.2013, 13:44

Che Netzer

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Jetzt wäre nur die Klammersetzung zu bemängeln.
Wenn aber klar ist, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine (!) Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezeichnen soll, ist es nun tatsächlich besser.

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