Pol, Polynom

15.06.2013, 11:57

1nstinct

Pol, Polynom

Hallo zusammen,

Ich will folgende Äquivalenz zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ganz. Dann besitzt $\begin{eqnarray*} g:z\to f(\frac 1z) \end{eqnarray*}$ genau dann einen Pol, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein nicht-konstantes Polynom ist.

Leider komme ich nicht voran.

Es gilt für g mit einem Pol der Ordnung m in z_o:

$\begin{eqnarray*} g(z)=\sum\limits_{n=-m}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n\, \text{mit}\, a_{-m}\neq 0 \end{eqnarray*}$

Also gilt doch:

$\begin{eqnarray*} g(\frac 1z)=f(z)=\sum\limits_{n=-m}^\infty a_n\cdot (\frac 1z-z_0)^n \end{eqnarray*}$

Leider will sich mir nicht zeigen, warum f dann ein nicht-konstantes Polynom sein soll.

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen,

MfG

15.06.2013, 12:22

Che Netzer

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RE: Pol, Polynom
Fang lieber mit der Reihendarstellung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an (natürlich um Null entwickelt).
Wie sieht dann die von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus? Wann hat diese einen nicht verschwindenden, aber abbrechenden Hauptteil?

15.06.2013, 13:29

1nstinct

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RE: Pol, Polynom
Vielen Dank für deine Hilfe Che,

Also:
$\begin{eqnarray*} f(\frac 1z)=\sum\limits_{n=0}^\infty b_nz^{-n}=\sum\limits_{n=-\infty}^0b_nz^n=g(z) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einen Pol der Ordnung $\begin{eqnarray*} m>0 \end{eqnarray*}$ hat:

$\begin{eqnarray*} g(z)=\sum\limits_{n=-m}^\infty a_nz^n \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} f(\frac 1z)=\sum\limits_{n=-m}^0a_nz^n=\sum\limits_{n=-m}^0a_n(\frac 1z)^{-n} \Rightarrow f(z)=\sum\limits_{n=0}^{m}a_nz^n \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a_m\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt: f ist nicht konstant.

MfG

15.06.2013, 13:33

Che Netzer

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RE: Pol, Polynom

Zitat:

Original von 1nstinct
Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einen Pol der Ordnung $\begin{eqnarray*} m>0 \end{eqnarray*}$ hat:

Das kannst du doch nicht einfach so annehmen.
Du musst nun unterscheiden, wann $\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^0b_{\color{red}-n}z^n \end{eqnarray*}$
a) keinen Hauptteil besitzt (keine/hebbare Singularität),
b) einen abbrechenden Hauptteil besitzt (Polstelle) oder
c) einen unendlich langen Hauptteil besitzt (wesentliche Singularität).

15.06.2013, 13:53

1nstinct

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RE: Pol, Polynom

Zitat:

Zitat:Original von 1nstinctDa $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einen Pol der Ordnung $\begin{eqnarray*} m>0 \end{eqnarray*}$ hat Big Laugh

as kannst du doch nicht einfach so annehmen.

Auch nicht, wenn ich zunächst zeigen will, dass, falls g einen Pol hat $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f nicht-konstantes Polynom?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^0b_{-n}z^n \end{eqnarray*}$

1) hat keinen Hauptteil, wenn g konstant 0 ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f konstant 0.

2) hat einen abbrechenden Hauptteil, $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b_{-n}=0\, \forall n<-m\, \text{mit} \, m>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ g hat Pol der Ordnung m.

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(\frac 1z)=\sum\limits_{n=-m}^0b_{-n}z^n=\sum\limits_{n=-m}^0b_{-n}(\frac 1z)^{-n} \Leftrightarrow f(z)=\sum\limits_{n=0}^{m}b_nz^n \end{eqnarray*}$

3) hat einen unendlich langen Hauptteil, falls g keinen Pol hat.

MfG

15.06.2013, 13:57

Che Netzer

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RE: Pol, Polynom

Zitat:

Original von 1nstinct
Auch nicht, wenn ich zunächst zeigen will, dass, falls g einen Pol hat $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f nicht-konstantes Polynom?

Schon, aber du brauchst nicht beide Richtungen einzeln zu betrachten.

Zitat:

1) hat keinen Hauptteil, wenn g konstant 0 ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f konstant 0.

Nicht nur dann.

Zitat:

2) hat einen abbrechenden Hauptteil, $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b_{-n}=0\, \forall n<-m\, \text{mit} \, m>0 \end{eqnarray*}$

Ja, wenn also die Folge der $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ abbricht und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also ein Polynom ist.

Zitat:

3) hat einen unendlich langen Hauptteil, falls g keinen Pol hat.

Nein, falls $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ keinen Pol hat, kann $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auch konstant sein.
Was bedeutet ein nicht abbrechender Hauptteil aber für die $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und damit für die "Länge" der Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

15.06.2013, 14:08

1nstinct

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RE: Pol, Polynom

Zitat:

Zitat: 3) hat einen unendlich langen Hauptteil, falls g keinen Pol hat. Nein, falls $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ keinen Pol hat, kann $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auch konstant sein. Was bedeutet ein nicht abbrechender Hauptteil aber für die $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und damit für die "Länge" der Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Die Länge der Potenzreihe ist unendlich, also kein Polynom.

Zitat:

Zitat:1) hat keinen Hauptteil, wenn g konstant 0 ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f konstant 0.

Nicht nur dann.

...hat keinen Hauptteil, wenn g konstant ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f konstant

Eine Frage hab ich noch:

Der der Pol von g müsste doch in $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

MfG

15.06.2013, 14:50

Che Netzer

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RE: Pol, Polynom
Ja, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann höchstens in Null Polstellen haben.

15.06.2013, 14:52

1nstinct

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RE: Pol, Polynom
Alles klar, vielen herzlichen Dank für deine Hilfe smile

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